¿Hay ningún inválido $S5$-fórmulas $\psi$ tal que $\diamond\psi$el % es válido?

Question

No puedo encontrar un ejemplo para un inválido $S5$ fórmula $\psi$ ( $\nvDash\psi$ ), de tal manera que $\diamond\psi$ es válido (es decir,$\vDash\diamond\psi$).
Si no hay ninguno, a continuación, $\vDash\diamond\psi\Rightarrow\,\vDash\psi$ es el caso, pero no puedo encontrar una prueba de ello.
Hasta ahora, sólo he logrado demostrar que para proposicional $\psi$ ($\psi$ que no contienen $\diamond$ o $\square$), basado en la idea de que, al $\psi$ es proposicional y $S5$-válido, entonces por un conjunto de mundos que contiene un solo elemento, $\psi$ es cierto, y ya que es independiente de otros mundos (porque es proposicional), esto también es cierto para cada conjunto de mundos.

¿Sabe usted un ejemplo, o se puede demostrar que no hay tal ejemplo existe en el caso general?

Answer 1

Considere la posibilidad de $\psi = (P \lor \square \lnot P)$.

$\psi$ no es válido en $S5$, ya que es posible tener un mundo de satisfacciones tanto en$\lnot P$$\lozenge P$.

Pero $\lozenge \psi$ es válido en $S5$. En efecto, considere la posibilidad de cualquier mundo, $w$ en un modelo de Kripke $S5$ (en realidad, todo lo que necesitamos es que la accesibilidad de la relación $R$ es reflexiva). Caso 1: $P$ sostiene en algún mundo, $v$ accesible desde $w$. A continuación, $\lozenge \psi$ mantiene en $w$, ya que el $\psi$ mantiene en $v$. Caso 2: $\lnot P$ mantiene en cada mundo accesible desde $w$, es decir, $\square \lnot P$ mantiene en $w$. A continuación, $\lozenge \psi$ mantiene en $w$, ya que el $\psi$ mantiene en $w$ $R$ es reflexiva.