¿Por qué es las ecuaciones para una línea perpendicular $-\frac{1}{m}$?

Question

¿Por qué es justo $-m$? ¿Permite decir $y=x$ y $y$ intercept es $0$ si creamos otra línea que era $y=-x$, no que haga perpendicular?

Nota: No sé exactamente qué palabra clave para usar, siéntete libre editar

Answer 1

Recuerde que la pendiente de la recta dada es $m_1=\tan\theta$ donde $\theta$ es el ángulo que forma con el eje X positivo. Así que si usted acaba de poner un signo menos delante de la pendiente se obtendrá una recta con pendiente $m_2=-m_1=-\tan\theta=\tan(\pi-\theta)$.

Esta línea claramente hace que el ángulo de $\theta$ con el negativo del eje X, y claramente, el ángulo entre las dos líneas se $\pi-2\theta$ ( $2\theta$ ). Así, estas líneas no ser perpendicular excepto en el caso de que $\theta=\pm\dfrac{\pi}{4}$.

La línea perpendicular a la recta dada claramente hace que el ángulo de $\dfrac{\pi}{2}+\theta$ con el eje X positivo, por lo que su pendiente es $m_3=\tan\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right)=-\cot\theta=\dfrac{-1}{\tan\theta}=\dfrac{-1}{m_1}$

Answer 2

Consideremos un vector ${\bf v}=(p,q)$, une en ${\bf 0}$ y señalando en el primer cuadrante. Girando hacia la izquierda este vector $90^\circ$ produce el nuevo vector ${\bf v}^*=(-q,p)$. Estos dos vectores podrían servir como vectores de dirección de dos líneas perpendiculares $g$ y $g^*$. La pendiente $m$ $g$ es entonces la "pendiente" de ${\bf v}$, donde $$m={q\over p}\ .$ $ % cuesta $m^*$$g^*$es la "pendiente" de ${\bf v}^*$, donde %#% $ #%

Answer 3

Si ambas líneas perpendiculares tienen una pendiente, ninguno de ellos es vertical. Si una línea no es vertical, entonces la línea perpendicular a ella no puede ser horizontal. Por lo tanto, ni la línea tiene pendiente igual a cero.

Podemos elegir nuestro sistema de coordenadas de modo que la no-vertical líneas perpendiculares que se intersecan en el origen, como se muestra en el diagrama de abajo.

Si una línea tiene pendiente $m$ y la línea perpendicular a ella tiene pendiente $m'$, entonces se tienen las ecuaciones de $y = mx$$y = m'x$, respectivamente (puesto que el $y$intercepto es $0$).

La línea con pendiente $m$ cruza la línea vertical $x = 1$ en el punto de $(1, m)$, mientras que la línea con pendiente $m'$ cruza la línea vertical $x = 1$ en el punto de $(1, m')$.

Las tres líneas que forman un triángulo rectángulo con vértices $(0, 0)$, $(1, m)$, y $(1, m')$.

Podemos usar la Fórmula de la Distancia para determinar las longitudes de los catetos y la hipotenusa. La Fórmula de la Distancia a los estados que la distancia entre los puntos de $P_1(x_1, y_1)$ $P_2(x_2, y_2)$ es $$d(P_1, P_2) = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$$

La longitud de la pierna desde el origen hasta el punto de $(1, m)$$\sqrt{1 + m^2}$. La longitud de la pierna desde el origen hasta el punto de $(1, m')$$\sqrt{1 + m'^2}$. La longitud de la hipotenusa es la distancia de $(1, m)$ hasta el punto de $(1, m')$,$|m - m'|$. Por el Teorema de Pitágoras, \begin{align*} \sqrt{1 + m^2}^2 + \sqrt{1 + m'^2}^2 & = |m - m'|^2\\ 1 + m^2 + 1 + m'^2 & = (m - m')^2\\ 2 + m^2 + m'^2 & = m^2 - 2mm' + m'^2\\ 2 & = -2mm'\\ -\frac{1}{m} & = m'\\ \end{align*}

Answer 4

Considere dos genéricos líneas que circulan desde el origen del plano de $x-y$: $$y = mx, y = nx$$

Fix $x_1$ $x_2$ y evaluar las dos líneas en estos puntos:

$$y_1 = mx_1, y_2 = nx_2$$

Las parejas $[x1, y1]$ $[x2, y2]$ son vectores que representa estos puntos en el plano de $x-y$. Estos puntos son perpendiculares si su producto escalar es nulo. En otras palabras:

$$x_1x_2 + y_1y_2 = 0 \Rightarrow\\ \Rightarrow x_1x_2 + mx_1nx_2 = 0 \Rightarrow \\ \Rightarrow x_1x_2 (1 + mn) = 0$$

El anterior se cumple si:

1. $x_1x_2 = 0$
2. $1+mn = 0$

Queremos que las dos líneas son perpendiculares, y esto significa que estos vectores debe ser perpendicular para cualquier $x_1$$x_2$. Para cualquier $x_1$ $x_2$ lo que no puede declarar que $x_1x_2 = 0$ . Entonces, tenemos que resolver sólo:

$$1+mn = 0 \Rightarrow m = -\frac{1}{n}$$

Las líneas son:

$$y = mx, y = -\frac{1}{m}x$$

Answer 5

Podemos asumir la recta dada $r$ ha ecuación de $y=mx$, por lo que el punto de $A(0,1)$ no pertenece a la línea.

Queremos ahora para encontrar la distancia más pequeña de$A$$r$. Puntos de $P$ $r$ tienen coordenadas $(t,mt)$, por lo que el cuadrado de la distancia de $A$ $P$es $$ f(t)=t^2+(tm-1)^2=(1+m^2)t^2-2mt+1 $$ Esta función es una simple ecuación cuadrática, por lo que tiene un mínimo de $t=m/(1+m^2)$; es fácil demostrar que el punto a una distancia mínima es $$ \left(\frac{m}{1+m^2},\frac{m^2}{1+m^2}\right) $$ (ver más adelante si usted no sabe por qué).

La pendiente de la línea que une este punto a $(0,1)$ es $$ \frac{\dfrac{m^2}{1+m^2\mathstrut}-1}{\dfrac{m\mathstrut}{1+m^2}-0}=-\frac{1}{m} $$

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El mínimo de una ecuación cuadrática $f(t)=at^2+bt+c$ ( $a\ne0$ ) se encuentran completando el cuadrado: $$ f(t)=\frac{1}{4}(4a^2t^2+4bt+4ac)=\frac{1}{4}((2at+b)^2-b^2-4ac)) $$ y ya que un cuadrado es positivo, el valor mínimo se alcanza cuando $2at+b=0$, es decir, para $$ t=-\frac{b}{2a} $$