Biyección entre $\mathbb{R}$y $\mathcal{C}_0(\mathbb{R})$

Question

Es posible demostrar que $\mathcal{C}_0(\mathbb{R})$ (continua función de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$) y $\mathbb{R}$ tienen esa misma cardinalidad (porque de sólo tienes que elegir la imagen $\mathbb{Q}$).

Pero ¿qué es un bijection explícita?

Answer 1

Uso de Schroeder-Bernstein, usted tiene que hay al menos $|\mathbb R|$ funciones continuas--las funciones constantes, y en la mayoría hay $|\mathbb R^{\mathbb Q}|=|\mathbb R|$ funciones; Este último es la cardinalidad de las funciones reales definidas sobre los racionales, puesto que no todas las funciones definidas en el denso subconjunto de los racionales en el Realsextend (por ejemplo, no se extiende el $f(x)= \frac {1}{(x-\ (2)^{1/2})})$) en una función continua de los Reals a sí mismos. Creo que Schroeder-Bernstein tiene un algoritmo para producir una biyección.

Answer 2

Desde $\mathcal{C}_0$ contiene funciones continuas, cada función se puede expresar de forma única como una Serie de Taylor que es un polinomio de infinito grados. Se ponen todos los coeficientes de este polinomio junto con el término constante y puede crear una secuencia ordenada que es único. por ejemplo, para $f(x)=\sin(x)$, se puede expresar como $f(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}...=x-\frac16x^3+\frac1{120}x^5...$. A continuación, la secuencia de crear es $<0,1,0,-\frac16,0,\frac1{120},......>$

Deje $\mathcal S$ ser el conjunto de todas estas funciones, a continuación,$\mathcal C_0=\mathcal S\preceq\mathbb R^{\mathbb N}=\mathbb R$. De curso $\mathbb R\preceq \mathcal C_0$ ya que para cada número real, es una función constante. Entonces por Schroeder Bernstein Thm, $\mathbb R\sim \mathcal C_0$