Encontrar el último dígito de $7^{802} -3^{683}$

Question

Encontrar el último dígito de %#% $ #%

$$7^{802} -3^{683}$ $ $$7^{802} -3^{683}=(50 -1)^{401} -3(10 -1)^{341}$ $ $$=50k -1 -3(10m -1) \space \text{where k,m are fixed integer } $ $, El último dígito será $$=50k -30m +2 $

Alguien a había añadido a esta pregunta, pero eliminado. He resuelto esta pregunta y tiene esta cosa. Solo quiero saber si mi respuesta correcta o no.

Answer 1

Sí, es correcta la prueba usando el teorema del binomio. Es más simple usando congruencias

$$\begin{align} {\rm mod}\ 10\!:\,\ \color{#0a0}{7^{\large 2}}\equiv \color{#c00}{-1}\equiv \color{#0a0}{3^{\large 2}}\ \Rightarrow\, &\ \ (\color{#0a0}{7^{\large 2}})^{\large 401}\!-3(\color{#0a0}{3^{\large 2}})^{\large 341}\\ \equiv\ &(\color{#c00}{-1})^{\large 401}-3(\color{#c00}{-1})^{\large 341}\\ \equiv\ &\ \, {-}1\ \ \ + \ \ \ 3\\ \equiv\ &\ \ \ \ 2\end{align}\qquad\qquad $$

Esto es precisamente lo mismo que la prueba, excepto eliminamos el teorema del binomio a favor de congruencias. Observe cómo el cálculo de BT se convierte en evidente en el lenguaje de la congruencia, reduciendo a lo trivial que $\,{\rm mod}\ 10\!:\ (10j\!-\!1)^{2n+1}\equiv (-1)^{2n+1}\equiv {-}1.\ $ semejantemente congruencia aritmética sirve para trivializar muchos otros cómputos aritméticos.

Answer 2

Bueno, después de leer los comentarios me doy cuenta de que mi respuesta es completamente fuera de la experiencia a nivel de la OP. Pero leer por delante para probar el sabor de las cosas emocionantes por venir.

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Muy bonito!

Quiero presentarles a la idea de Fermat Poco Thereom sin embargo.

Si $\gcd(a, m) = 1$. Y $\phi(m) = $ el número de números naturales a menos de $m$ que son relativamente primos a$m$, entonces:

$a^{\phi (m)} \equiv 1 \mod m$

(o en otras palabras $a^{\phi(m)} = km + 1$ algunos $k$.)

Así que... como $1,3,7$ $9$ son relativamente primos a$10$$\phi(10) = 4$. Y $\gcd(7,10) = \gcd(3,10) = 1$.

Así $7^4 = 1 \mod 10$ ($7^4 = 2401$) y $3^4 \equiv 1 \mod 10$ ($3^4 = 81$).

Por lo $7^{802} - 3^{683} = 7^{2 + 4k} - 3^{3 + 4j}$

$= 7^2*(7^4)^k - 3^3*(3^4)^j \equiv 7^2*1^k - 3^3*1^j \mod 10$

$\equiv 49 - 27 \mod 10 \equiv 9 -7 \mod 10 = 2 \mod 10$

Por lo $2$ es el último dígito.

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Bueno, admito, ahora que he escrito toda la cosa, que parece MUCHO más complicado que su elegante solución rápida.

Pero es útil saber.

Si me preguntaban "¿qué es el resto al $8^{386} - 6^{216}$ se divide por $13$" podría ser más fácil de usar de Fermat Poco Teorema, en lugar de "$8^2 = 64 = 5*13 - 1$ $6^6 = 46656 = 3589*13 - 1$ $(-1)^{193} - (-1)^36 = -1 -1 =-2$ $11$ es el resto"

[$13$ es el primer modo que todos los números menos de $13$ son relativamente primos por lo $\phi(13) = 2$. Por lo $8^{386} \equiv 1 \mod 13$$6^216 \equiv 1 \mod 13$.

[Modo $8^{386=2 + 12k} - 6^{216=12j} \equiv 8^2 - 1 \mod 13$

[$\equiv 63 \mod 13 \equiv 11 \mod 13$]

Answer 3

El último dígito de 7 ^ 802 es lo mismo que 7 ^ 2, que es 9. El último dígito de 3 ^ 683 es igual a 3 ^ 3, que es 7. Luego 9-7 = 2.