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Encontrar el último dígito de $7^{802} -3^{683}$

Encontrar el último dígito de %#% $ #%

$$7^{802} -3^{683}$ $ $$7^{802} -3^{683}=(50 -1)^{401} -3(10 -1)^{341}$ $ $$=50k -1 -3(10m -1) \space \text{where k,m are fixed integer } $ $, El último dígito será $$=50k -30m +2 $

Alguien a había añadido a esta pregunta, pero eliminado. He resuelto esta pregunta y tiene esta cosa. Solo quiero saber si mi respuesta correcta o no.

4voto

David HAust Puntos 2696

Sí, es correcta la prueba usando el teorema del binomio. Es más simple usando congruencias

$$\begin{align} {\rm mod}\ 10\!:\,\ \color{#0a0}{7^{\large 2}}\equiv \color{#c00}{-1}\equiv \color{#0a0}{3^{\large 2}}\ \Rightarrow\, &\ \ (\color{#0a0}{7^{\large 2}})^{\large 401}\!-3(\color{#0a0}{3^{\large 2}})^{\large 341}\\ \equiv\ &(\color{#c00}{-1})^{\large 401}-3(\color{#c00}{-1})^{\large 341}\\ \equiv\ &\ \, {-}1\ \ \ + \ \ \ 3\\ \equiv\ &\ \ \ \ 2\end{align}\qquad\qquad $$

Esto es precisamente lo mismo que la prueba, excepto eliminamos el teorema del binomio a favor de congruencias. Observe cómo el cálculo de BT se convierte en evidente en el lenguaje de la congruencia, reduciendo a lo trivial que $\,{\rm mod}\ 10\!:\ (10j\!-\!1)^{2n+1}\equiv (-1)^{2n+1}\equiv {-}1.\ $ semejantemente congruencia aritmética sirve para trivializar muchos otros cómputos aritméticos.

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fleablood Puntos 5913

Bueno, después de leer los comentarios me doy cuenta de que mi respuesta es completamente fuera de la experiencia a nivel de la OP. Pero leer por delante para probar el sabor de las cosas emocionantes por venir.

=====

Muy bonito!

Quiero presentarles a la idea de Fermat Poco Thereom sin embargo.

Si $\gcd(a, m) = 1$. Y $\phi(m) = $ el número de números naturales a menos de $m$ que son relativamente primos a$m$, entonces:

$a^{\phi (m)} \equiv 1 \mod m$

(o en otras palabras $a^{\phi(m)} = km + 1$ algunos $k$.)

Así que... como $1,3,7$ $9$ son relativamente primos a$10$$\phi(10) = 4$. Y $\gcd(7,10) = \gcd(3,10) = 1$.

Así $7^4 = 1 \mod 10$ ($7^4 = 2401$) y $3^4 \equiv 1 \mod 10$ ($3^4 = 81$).

Por lo $7^{802} - 3^{683} = 7^{2 + 4k} - 3^{3 + 4j}$

$= 7^2*(7^4)^k - 3^3*(3^4)^j \equiv 7^2*1^k - 3^3*1^j \mod 10$

$\equiv 49 - 27 \mod 10 \equiv 9 -7 \mod 10 = 2 \mod 10$

Por lo $2$ es el último dígito.

.........

Bueno, admito, ahora que he escrito toda la cosa, que parece MUCHO más complicado que su elegante solución rápida.

Pero es útil saber.

Si me preguntaban "¿qué es el resto al $8^{386} - 6^{216}$ se divide por $13$" podría ser más fácil de usar de Fermat Poco Teorema, en lugar de "$8^2 = 64 = 5*13 - 1$ $6^6 = 46656 = 3589*13 - 1$ $(-1)^{193} - (-1)^36 = -1 -1 =-2$ $11$ es el resto"

[$13$ es el primer modo que todos los números menos de $13$ son relativamente primos por lo $\phi(13) = 2$. Por lo $8^{386} \equiv 1 \mod 13$$6^216 \equiv 1 \mod 13$.

[Modo $8^{386=2 + 12k} - 6^{216=12j} \equiv 8^2 - 1 \mod 13$

[$\equiv 63 \mod 13 \equiv 11 \mod 13$]

1voto

MistakeNot Puntos 16

El último dígito de 7 ^ 802 es lo mismo que 7 ^ 2, que es 9. El último dígito de 3 ^ 683 es igual a 3 ^ 3, que es 7. Luego 9-7 = 2.

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