Bueno, después de leer los comentarios me doy cuenta de que mi respuesta es completamente fuera de la experiencia a nivel de la OP. Pero leer por delante para probar el sabor de las cosas emocionantes por venir.
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Muy bonito!
Quiero presentarles a la idea de Fermat Poco Thereom sin embargo.
Si $\gcd(a, m) = 1$. Y $\phi(m) = $ el número de números naturales a menos de $m$ que son relativamente primos a$m$, entonces:
$a^{\phi (m)} \equiv 1 \mod m$
(o en otras palabras $a^{\phi(m)} = km + 1$ algunos $k$.)
Así que... como $1,3,7$ $9$ son relativamente primos a$10$$\phi(10) = 4$. Y $\gcd(7,10) = \gcd(3,10) = 1$.
Así $7^4 = 1 \mod 10$ ($7^4 = 2401$) y $3^4 \equiv 1 \mod 10$ ($3^4 = 81$).
Por lo $7^{802} - 3^{683} = 7^{2 + 4k} - 3^{3 + 4j}$
$= 7^2*(7^4)^k - 3^3*(3^4)^j \equiv 7^2*1^k - 3^3*1^j \mod 10$
$\equiv 49 - 27 \mod 10 \equiv 9 -7 \mod 10 = 2 \mod 10$
Por lo $2$ es el último dígito.
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Bueno, admito, ahora que he escrito toda la cosa, que parece MUCHO más complicado que su elegante solución rápida.
Pero es útil saber.
Si me preguntaban "¿qué es el resto al $8^{386} - 6^{216}$ se divide por $13$" podría ser más fácil de usar de Fermat Poco Teorema, en lugar de "$8^2 = 64 = 5*13 - 1$ $6^6 = 46656 = 3589*13 - 1$ $(-1)^{193} - (-1)^36 = -1 -1 =-2$ $11$ es el resto"
[$13$ es el primer modo que todos los números menos de $13$ son relativamente primos por lo $\phi(13) = 2$. Por lo $8^{386} \equiv 1 \mod 13$$6^216 \equiv 1 \mod 13$.
[Modo $8^{386=2 + 12k} - 6^{216=12j} \equiv 8^2 - 1 \mod 13$
[$\equiv 63 \mod 13 \equiv 11 \mod 13$]