$f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$ $\iff$ $f$ es inyectiva.

Question

Deje $f:X\to Y$ donde $X$ $Y$ son no vacíos. Demostrar que suficiente y condición esencial para cualquiera de los dos subconjuntos $A,B\subseteq X$ cumplir $f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$ es que el $f$ es inyectiva. Tengo la sensación de que hay algún problema en mi prueba. Yo estaría encantado si usted me ayudó.

$Attempt:$ Deje $f$ ser inyectiva y deje $A,B\subseteq X$ dos subconjuntos. Si $A$ $B$ son disjuntos, entonces $A\cap B=\emptyset$ $\Rightarrow$ $f(A\cap B)=\emptyset$. Desde $f$ es inyectiva entonces no hay dos elementos con la misma imagen y, por tanto,$f(A)\cap f(B) =\emptyset =f(A\cap B)$. Ahora supongamos $A\cap B\ne \emptyset.$ Deje $ y\in f(A\cap B)$. Existe una $x\in A\cap B$ tal que $f(x)=y$. Desde $x \in A$ $f(x)=y\in f(A)$ y desde $x \in B$ $f(x)=y\in f(B)$ $\Rightarrow$ $y\in f(A)\cap f(B)$. Por lo tanto,$f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)$.

Ahora vamos a $y\in f(A)\cap f(B)$. ( $f(A)\cap f(B)$ no está vacía porque si lo fuera, a continuación, $A$ $B$ tendría una intersección vacía así, que no lo hacen.). Por lo tanto, $y\in f(A)$ $y\in f(B)$ y, por tanto, en $A$ existe $x_1$ tal que $f(x_1)=y$. La misma con $B$, $f(x_2)=y$. Por inyectividad: $x_1=x_2 \Rightarrow x_1=x_2\in A\cap B\Rightarrow f(x_1)=y\in f(a\cap B)\Rightarrow f(A)\cap f(B)\subseteq f(A\cap B) \Rightarrow f(A\cap B)=f(A)\cap f(B).$

Necesario: Supongamos que no fuera necesario que $f$ es inyectiva. Entonces existiría un no inyectiva función de $f$ tal que para cualquier par de subconjuntos $A,B\subseteq X$ tenemos $f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$. $f$ no es inyectiva y, por tanto, no ser $x_1,x_2\in X$ tal que $f(x_1)=f(x_2)$. Veamos $\{x_1\},\{x_2\}\subseteq X$. $f(\{x_1\})\cap f(\{x_2\})=\{f(x_1)=f(x_2)\}\ne f(\{x_1\}\cap\{x_2\})=f(\emptyset)=\emptyset$. Una contradicción.

Answer 1

La prueba de que la condición (*) implica que $f$ es inyectiva está bien. Aquí

(*) Para todos los $A, B \subseteq X$ tenemos que $f[A] \cap f[B] = f[A \cap B]$

Supongamos ahora que $f$ es inyectiva. Tenemos que muestran (*).

Para cualquier función, $A \cap B \subseteq A$, lo $f[A \cap B] \subseteq f[A]$, y también, $A \cap B \subseteq B$$f[A \cap B] \subseteq f[B]$. La combinación de estos da $f[A \cap B] \subseteq f[A] \cap f[B]$. Alternativamente, tenga en cuenta que si $y \in f[A \cap B]$, $y = f(x)$ algunos $x \in A \cap B$ e este mismo $x$ testigos que $y \in f[A]$ también $y \in f[B]$. Por lo $y$ es en su intersección. Nada de $f$ es necesario para que la inclusión.

Ahora tome $y \in f[A] \cap f[B]$. A continuación,$y \in f[A]$, por lo que hay algunos $a \in A$$f(a) = y$. También, $y \in f[B]$, por lo que hay algunos $b \in B$ tal que $y = f(b)$. Ahora $f(a) = y = f(b)$, lo $f$ ser inyectiva ahora implica $a = b$. Por lo $a \in A \cap B$$y \in f[A \cap B]$, la cual se instala la otra desigualdad.

No es necesario manejar disjointness como un caso especial.

Answer 2

La prueba se ve bien, pero la mayor parte del primer párrafo es totalmente innecesario. El primer párrafo establece para demostrar la declaración: $$f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B).$$ ¿Por qué molestarse en mirar el caso al $A$ $B$ son distintos? En ese caso, el lado izquierdo es el conjunto vacío y es trivialmente un subconjunto de nada. Tiene más sentido que acabo de escribir:

Para cualquier $y\in f(A\cap B)$, hay algunos $x\in A\cap B$ tal que $f(x)=y$. Desde $x$ es en tanto $A$ $B$ por lo tanto $y\in f(A)\cap f(B)$.

El segundo bit de la prueba se conoce como una prueba por contradicción, cuando es realmente una prueba directa, la cual se deriva el resultado deseado y de contradicción - es algo así como diciendo: "podemos probar $P$. Asumir no $P$. Entonces, tenemos $P$ e no $P$ - una contradicción. Por lo tanto rechazamos que no $P$ es cierto, lo que implica la $P$" en lugar de simplemente demostrando $P$. Usted podría reformular su idea básica:

Si $f(\{x_1\}\cap \{x_2\})=f(\{x_1\})\cap f(\{x_2\})$ todos los $x_1,x_2\in X$, entonces si $f(x_1)=f(x_2)$ se sigue que $f(\{x_1\})\cap f(\{x_2\}=f(\{x_1\}\cap\{x_2\})$ no está vacía, por lo $\{x_1\}\cap\{x_2\}$ es no vacío y $x_1=x_2$.

Answer 3

La prueba está bien.

No es necesario separar el caso $A\cap B=\emptyset$ en la primera parte - sólo prueban que $f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)$ y $f(A)\cap f(B)\subseteq f(A\cap B)$ en general.

La primera parte es obvia - es cierto para cualquier $f$, no sólo inyectiva $f$.

Tan sólo necesitará demostrar que $f(A)\cap f(B)\subseteq f(A\cap B)$.

Si $x\in f(A)\cap f(B)$ y $x=f(a)$ y $x=f(b)$ $a\in A$ y $b\in B$. Pero luego, por la asunción de inyectabilidad, $a=b$, que $a\in A\cap B$ y $x\in f(A\cap B)$.