Irracional y de los registros de la serie armónica

Question

Considerar la serie $$ S_f = \sum_{x=1}^\infty \frac{f}{x^2+fx}. $$ Goldbach mostró que, para los números enteros $f \ge 1$, $$ S_f = 1 + \frac12 + \frac13 + \ldots + \frac1f $$ (esto se deduce fácilmente por escrito $S_f$ como telescópico de la serie). Por lo tanto $S_f$ es racional para todos los números naturales $f \ge 1$. Goldbach afirmó que para todos no integral (racional) de los números de $f$, la suma de $S_f$ sería irracional.

Euler demostró, mediante la sustitución de $$ \frac1k = \int_0^1 x^{k-1} dx, $$ que $$ S_f = \int_0^1 \frac{1-x^f}{1-x} dx. $$ Él evaluó esta integral para $f = \frac12$ y encontrado que $S_{1/2} = 2(1 - \ln 2)$ (esto también se deduce fácilmente de Goldbach de la serie para $S_f$). Por lo tanto Goldbach reclamación tiene para todos los $f \equiv \frac12 \bmod 1$ desde $S_{f+1} = S_f + \frac1{f+1}$.

Aquí están mis preguntas:

1. La irracionalidad de la $\ln 2$ fue establecido por Lambert, que resultó que $e^r$ es irracional para todos los números racionales $r \ne 0$. ¿Hay alguna (simple) directo pruebas?

2. Ha Goldbach reclamación acerca de la irracionalidad de la $S_f$ no integral racional de los valores de $f$ han resuelto en otros casos?

Answer 1

Por favor, que me permita poner mi pregunta en la parte superior de la lista de nuevo, girando mi comentario en una respuesta. FC observaciones me llevaron para el artículo "los valores Trascendentales de la función digamma", J. Teoría de los números 125, Nº 2, 298-318 (2007) de Ram Murty y N. Saradha, donde Thm. 9 se establece que los valores de S_f son trascendentales para los números racionales 0 < f < 1. Me disculpo por no haber hecho esta pregunta en el 2006, que es por eso que sólo tengo una recompensa para ofrecer (y una referencia a FC a partir de MO en el de Euler OO).