Vamos a considerar la función definida por la integral:
$$R(a,b,c,d)=\int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt{(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)}}$$
Estoy interesado en el caso de $a,b,c,d \in \mathbb{R}^+$. Obviamente, la función es simétrica en todos los cuatro parámetros.
Esta función tiene muy buenas propiedades.
$$R(ka,kb,kc,kd)=\frac{1}{k} R(a,b,c,d)$$
Por lo tanto:
$$R(a,a,a,a)=\frac{1}{a}$$
Además:
$$R(a,a,b,b)=\frac{\ln a-\ln b}{a-b}$$
Este es el recíproco de la media logarítmica de los números de $a$$b$.
Para el caso de $R(a,a,b,c)$ podemos utilizar la sustitución de Euler para obtener:
$$R(a,a,b,c)=2 \int_{\sqrt{bc}-a}^{\frac{b+c}{2}-a} \frac{dt}{t^2-(a-b)(a-c)}=$$
$$=\frac{1}{\sqrt{(a-b)(a-c)}} \left( \ln \frac{\sqrt{(a-b)(a-c)}+\sqrt{bc}-a}{\sqrt{(a-b)(a-c)}-\sqrt{bc}+a}-\ln \frac{\sqrt{(a-b)(a-c)}+\frac{b+c}{2}-a}{\sqrt{(a-b)(a-c)}-\frac{b+c}{2}+a} \right)$$
Tal y como yo lo veo, esta función está profundamente relacionada a varios medios (se puede ver la aritmética, geométrica y logarítmica medios representados en las expresiones anteriores).
Hay una forma cerrada para el caso general de $R(a,b,c,d)$$a,b,c,d \in \mathbb{R}^+$? Tal vez, en términos de funciones hipergeométricas o elíptica integrales?
