¿Por qué $6^x ≡ 2^{10-x} \pmod{11}$ cuando $0≤x≤10$?

Question

Yo jugueteaba con mi calculadora el día de hoy. Me gráficamente la función $6^x \pmod{11}$, y me di cuenta de un patrón, y me "descubrió" las siguientes:

$$6^x ≡ 2^{10-x} \pmod{11}$$

Esto funciona siempre que $x$ es un número entero entre el$0$$10$, inclusive. Asimismo, estos también parecen funcionar:

$$4^x ≡ 3^{10-x} \pmod{11}$$ $$5^x ≡ 9^{10-x} \pmod{11}$$ $$7^x ≡ 8^{10-x} \pmod{11}$$ $$10^x ≡ 1^{10-x} \pmod{11}$$

Tengo dos preguntas principales:

• ¿Qué causa los pares $(1,10)$, $(2,6)$, $(3,4)$, $(5,9)$, y $(7,8)$?
• ¿Por qué las relaciones como este existen en el primer lugar?

Answer 1

Primera nota de que, para cualquier entero $x$, $$6^x\equiv 2^{10-x}\bmod 11 \;\iff\; 12^x=6^x\cdot 2^x\equiv 2^{10}\bmod 11.$$ A continuación, tenga en cuenta que $12\equiv 1\bmod 11$, por lo que el $12^x\equiv 1\bmod 11$ cualquier $x$, y también que $2^{10}\equiv 1\bmod 11$, de los cuales uno puede calcular directamente: $$2^{10}=1024=(11\cdot 93)+1\equiv 1\bmod 11$$ o simplemente apelar a Fermat poco teorema.

Podemos generalizar su observación de la siguiente manera: para cualquier entero positivo $n$, y para cualquier enteros $a$ $b$ tal que $ab\equiv 1\bmod n$, tenemos $$a^x\equiv b^{\varphi(n)-x}\bmod n$$ para todos los $0\leq x\leq \varphi(n)$ (y de hecho, para todos los enteros $x$, porque podemos hacer sentido de que el inverso multiplicativo de a $a$ $b$ modulo $n$).