¿Hay una Ley distributiva para ideales?

Question

Tengo curiosidad si hay algún tipo de Ley distributiva para ideales.

¿Si $I,J,K$ son ideales en un anillo arbitrario, tiene $I(J+K)=IJ+IK$?

La contención «$\subset$» es bastante clara que creo. Pero el ontainment opuesto no se siente como debería funcionar. Sin embargo no podía trabajar fuera un contraejemplo con ideales en $\mathbb{Z}$. ¿Por lo tanto esa igualdad siempre tiene o no?

Answer 1

Tenga en cuenta que si $A$, $B$, y $C$ son ideales y $B\subseteq C$, entonces el $AB\subseteq AC$; y si $A$ y $B$ están contenidos en $C$, entonces el $A+B\subseteq C$.

Desde $J\subseteq J+K$, entonces el $IJ\subseteq I(J+K)$ %. Desde $K\subseteq J+K$, entonces el $IK\subseteq I(J+K)$ %. Por lo tanto, $IJ$ y $IK$ están contenidos en $I(J+K)$, que $IJ+IK\subseteq I(J+K)$.

Para la inclusión de converse, un elemento general de $I(J+K)$ es de la forma $$\sum a_i(j_i+k_i)$ $ $a_i\in I$, $j_i\in J$ y $k_i\in K$. Y $$\sum a_i(j_i+k_i) = \sum\Bigl( a_ij_i + a_ik_i\Bigr) = \left( \sum a_ij_i\right) + \left(\sum a_ik_i\right) \in IJ + IK.$ $