¿Existen en los espacios normados infinitamente dimensionales subconjuntos linealmente independientes y densos? (La existencia de subconjuntos densos linealmente independientes es equivalente a la existencia de bases densas de Hamel).
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Si su espacio (llámese $X$ ) es separable, entonces la respuesta es sí.
Elige una base contable $\{U_n\}$ para $X$ . Construir la secuencia $\{x_1, x_2, \dots\}$ inductivamente como sigue. En primer lugar, elija $x_1 \in U_1$ de forma arbitraria. Ahora para el paso inductivo, si $\{x_1, \dots, x_n\}$ ya han sido elegidos, establezca $E_n$ para ser su tramo lineal. Dado que $E_n$ es de dimensión finita, es un subespacio propio de $X$ y por lo tanto debe tener el interior vacío. En particular, no contiene $U_{n+1}$ Así que elija $x_{n+1} \in U_{n+1} \backslash E_n$ .
La secuencia $\{x_1, x_2, \dots\}$ es linealmente independiente por construcción, y densa porque interseca cada $U_n$ .
Nótese que sólo hemos utilizado la elección dependiente, que es mucho menos de lo que se necesita para producir una base de Hamel.
El caso no separable parece más difícil.
Editar: Después de leer la respuesta de Martin Sleziak, creo que veo cómo manejar el caso no separable, a expensas de más opciones.
Fijar una base de Hamel $\{e_i\}_{i \in I}$ para $X$ , donde $|I| = \kappa = \dim X$ . Dejemos que $A$ sea el $\mathbb{Q}$ -Volumen lineal de $\{e_i\}$ Entonces $|A| = \kappa$ también. $A$ es claramente denso en $X$ Así que $\mathcal{U} = \{B(x,r) : x \in A, r \in \mathbb{Q}\}$ es una base para $X$ y $|\mathcal{U}| = \kappa$ también.
Dejemos que $\omega$ sea el ordinal más pequeño de cardinalidad $\kappa$ . Podemos entonces enumerar $\mathcal{U}$ como $\mathcal{U} = \{U_j\}_{j < \omega}$ . Ahora producimos el conjunto deseado $\{x_j\}_{j < \omega}$ por inducción transfinita: para $j < \omega$ , dejemos que $E_j$ sea el ( $\mathbb{R}$ -)tramo lineal de $\{x_m : m < j\}$ . Entonces $\dim E_j = |j| < \kappa$ y en particular $E_j$ es un subespacio propio de $X$ . Como tal tiene el interior vacío, por lo que no contiene $U_j$ y así podemos elegir $x_j \in U_j \backslash E_j$ . Como antes, el conjunto $\{x_j\}_{j < \omega}$ es linealmente independiente por construcción, y es denso porque interseca cada $U_j$ .
(Perdona si no está escrito con demasiada claridad; no estoy muy acostumbrado a este tipo de argumentos).
Como en las referencias de Martin, el ingrediente clave es una base de cardinalidad como máximo $\dim X$ . Por supuesto, puede haber bases de menor cardinalidad, como en el caso separable, y se podría utilizar dicha base para construir un conjunto denso linealmente independiente más pequeño.
Frangello
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21
Lo que sigue es una versión en LaTeX de un ensayo que publiqué en sci.math el 18 de agosto de 2006 y que puede ser más útil aquí que enterrado en el archivo de sci.math (donde sospecho que poca gente se molesta ahora en buscar cosas como este ensayo).
Archivo sci.math de Google del ensayo
Archivo del ensayo en sci.math del Foro de Matemáticas
A. PRELIMINARES
En lo que sigue, muchos de los resultados fueron enunciados y demostrados en contextos más generales, especialmente los trabajos que figuran a continuación y que fueron publicados a finales de la década de 1940 y posteriormente. Sin embargo, en aras de la simplicidad, me mantendré en el ámbito de los espacios de Banach $X$ . La única topología y métrica en $X$ que surgirán en los enunciados que doy serán los que se deriven de la norma sobre $X$ .
El término "subespacio lineal" significará un subconjunto de $X$ en el sentido de espacio vectorial, y el término "hiperplano" significará una traslación de un subespacio lineal que tiene codimensión $1$ . Los hiperplanos en los espacios normados pueden caracterizarse como las imágenes inversas de los singletons bajo funcionales lineales. Es decir, si $f:X \rightarrow \mathbb R$ es lineal y $r$ es un número real, entonces $f^{-1}[\{r\}]$ es un hiperplano, y todo hiperplano en $X$ surge de esta manera para algún funcional lineal $f$ y el número real $r$ . Si $X$ es un espacio normado finito, entonces todo funcional lineal es continuo, y por tanto para espacios normados finitos (= Banach, en este caso), todo hiperplano es cerrado. De hecho, todo subespacio lineal propio de un espacio normado finito es cerrado y, de una manera bastante fuerte, no es denso en ninguna parte. Además, todo subespacio lineal propio cerrado en un espacio normado no es denso en ninguna parte (de una manera bastante fuerte).
Sin embargo, para cada espacio normado de dimensión infinita (no se necesita ni completitud ni separabilidad para esto), se sabe que existen funcionales lineales discontinuas. Aunque esto no implica inmediatamente que existan hiperplanos no cerrados, al menos si sólo consideramos la situación desde un punto de vista topológico (una función será continua si la imagen inversa de cada conjunto cerrado es cerrada pero, en general, no si sólo sabemos que la imagen inversa de cada conjunto unitario es cerrada, como muestra cualquier función discontinua uno a uno), se sabe que para cada funcional lineal discontinua $f$ cada hiperplano que surge de $f$ es denso en $X$ . Así, cada hiperplano en $X$ está cerrado en $X$ o denso en $X$ . Las dos primeras páginas web que aparecen a continuación ofrecen una demostración de este resultado, y en los resultados de la búsqueda de google-book que aparecen a continuación se pueden encontrar otras demostraciones de este resultado (no necesariamente diferentes desde el punto de vista matemático).
http://www.math.unl.edu/~s-bbockel1/928/node22.html
http://books.google.com/books?q=dense-hyperplane
http://books.google.com/books?q=dense-hyperplanes
Otro resultado que vale la pena mencionar es que todo subespacio lineal de Borel en un espacio de Banach (no necesariamente separable) es de primera categoría (es decir, escaso) en $X$ o igual a $X$ . Esto se demuestra en Goffman/Pedrick [6] (p. 80).
RESUMEN DE DOS RESULTADOS QUE IMPLICAN NOCIONES DE CATEGORÍA BAIRE:
Dejemos que $X$ sea un espacio normado y $V$ sea un subespacio lineal propio de $X$ .
$V$ cerrado en $X$ $\Rightarrow$ $V$ no es denso en ninguna parte $X$ .
( $X$ Banach) $V$ Borel en $X$ $\Rightarrow$ $V$ es escaso en $X$ .
No conozco los detalles históricos de ninguno de los resultados anteriores, pero imagino que todos ellos (excepto posiblemente el último) se conocen desde finales de los años veinte.
Las respuestas a cualquiera de las preguntas siguientes pueden ser conocidas, pueden ser fáciles, pueden ser tanto conocidas como fáciles, o pueden no ser ni conocidas ni fáciles. No me he esforzado mucho en intentar responder a ninguna de las dos preguntas.
PREGUNTA 1: ¿Puede (debe?) un subespacio lineal de Borel propio de algún(os) espacio(s) de Banach ser escaso pero no $\sigma$ -¿Pórtico?
NOTA: El uso adecuado de la cerrado Los subespacios lineales de los espacios normados son porosos de una manera bastante fuerte. Para mostrar que no son densos en ninguna parte, basta con observar que si el conjunto cerrado $V$ no eran densos en ninguna parte, entonces $V$ contendría una bola abierta de centro $x$ y el radio $r>0$ . De ello se deduce que $V$ contendría bolas abiertas de centro $x$ y el radio $kx$ por cada $k > 0$ (porque $V$ es un subespacio lineal), lo que entonces contradiría $V$ siendo un subespacio lineal propio. Para demostrar el resultado más fuerte de que $V$ es poroso, utilice el lema de F. Riesz que implica subespacios lineales cerrados adecuados, por ejemplo, Goffman/Pedrick [6] (p. 82). (Para saber por qué he dicho "poroso de una manera bastante fuerte", véase el artículo citado en Zbl 1101.28300).
PREGUNTA 2: ¿Puede un subespacio lineal propio no Borel de algún(os) espacio(s) de Banach ser escaso, o incluso $\sigma$ -¿Pórtico?
NOTA: Existen subespacios lineales adecuados que no son de Borel y que no son de Hausdorff [7].
B. SUBESPACIOS LINEALES EXÓTICOS
RESUMEN DE LOS RESULTADOS:
Dejemos que $X$ sea un espacio de Banach separable y $V$ sea un subespacio lineal propio de $X$ .
$V$ es $G_{\delta}$ $\Rightarrow$ $V$ está cerrado.
Para cada ordinal contable $\alpha \geq 1$ , $V$ puede pertenecer a la clase aditiva de Borel $\alpha$ y no a la clase multiplicativa de Borel $\alpha$ (y por tanto, no a ninguna clase inferior de Borel).
Para cada ordinal contable $\alpha \geq 2$ , $V$ puede pertenecer a la clase multiplicativa de Borel $\alpha$ y no a la clase aditiva de Borel $\alpha$ (y por tanto, no a ninguna clase inferior de Borel).
Para cada ordinal contable $\alpha \geq 2$ , $V$ puede pertenecer a la clase ambigua de Borel $\alpha$ y no a cualquier clase inferior de Borel.
Para cada número entero positivo $n$ , $V$ puede pertenecer al $n$ clase proyectiva y no a ninguna clase proyectiva inferior.
Es posible que $V$ para no pertenecer a ninguna clase proyectiva finita.
Las fechas que figuran a continuación son las fechas de recepción (o de otro tipo) que figuran en el documento.
3 de septiembre de 1931 -- Hausdorff [7] demostró que en todo espacio de Banach de dimensión infinita existe un subespacio lineal que no es $G_{\delta}$ . El ejemplo de Hausdorff tampoco era de primera categoría, por lo que, según el resultado que cité del texto de Goffman/Pedrick más arriba, el ejemplo de Hausdorff no era en realidad un conjunto de Borel. Sin embargo, no sé si Hausdorff dice esto en su artículo, o incluso si era consciente del resultado que he citado del texto de Goffman/Pedrick. Pettis [14] utiliza la construcción de Hausdorff, que se apoya en una base de Hamel, para construir subgrupos patológicos de ${\mathbb R}^{n}$ .
28 de abril de 1933 -- Mazur/Sternbach [13] demostraron que en cualquier espacio de Banach de dimensión infinita, cada $G_{\delta}$ subespacio lineal es cerrado y existe $F_{\sigma \delta}$ subespacios lineales que no son $F_{\sigma}$ . También se preguntaron si todo espacio de Banach de dimensión infinita tiene subespacios lineales de orden de Borel arbitrariamente alto. Según Klee [10] (p. 189, nota 2), Banach anunció en 1940 que esto es cierto (Banach murió en 1945) y Mazur presentó una prueba en una conferencia de 1957 en Zakopane. En Klee [10] se ofrece una prueba.
21 de junio de 1933 -- Banach/Mazur [3], mejorando uno de los resultados de Mazur/Sternbach [13], demostró que en cada espacio de Banach de dimensión infinita, existe $F_{\sigma \delta}$ subespacios lineales que no son $G_{\delta \sigma}$ .
22 de junio de 1933 -- Banach/Kuratowski [2] demostraron que, en cualquier espacio de Banach separable de dimensión infinita, existen subespacios lineales que son $CA$ , $CPCA$ , $CPCPCA$ etc., pero no $A$ , $PCA$ , $PCPCA$ etc., respectivamente (estas son las clasificaciones de conjuntos proyectivos donde $A$ es analítica, $C$ es el complemento, y $P$ es la proyección), así como la existencia de un subespacio lineal que no pertenece a ninguna de estas clases proyectivas. Su prueba consiste en demostrar que existe un subespacio lineal coanalítico en $C[0,1]$ (norma sup) que tiene ciertas propiedades y que no es Borel, observando que el método funciona de la misma manera para las clases coproyectivas de nivel superior, y luego haciendo uso del hecho (demostrado por Banach y Mazur más o menos al mismo tiempo) de que todo espacio separable de Banach puede ser incrustado isométricamente en $C[0,1]$ . Como no fueron capaces de resolver el problema de si todo (o incluso algunos, aunque sospecho que los resultados de incrustación universal harían que "algunos" fueran equivalentes a "todos") los espacios de Banach infinitos contienen un subespacio lineal analítico que no es Borel (o cualquiera de las correspondientes versiones proyectivas de nivel superior), lo dejan como una cuestión abierta. Klee respondió afirmativamente, con una prueba, en [10].
8 de diciembre de 1958 -- Klee [10] demostró que en cualquier espacio de Banach separable de dimensión infinita tenemos: (1) Para cada ordinal contable $\alpha \geq 1$ existen subespacios lineales densos que pertenecen a la clase aditiva de Borel alfa y no a la clase multiplicativa de Borel $\alpha$ . (2) Para cada número entero positivo $n,$ existen subespacios lineales densos que pertenecen al $n$ clase proyectiva y no a ninguna clase proyectiva inferior.
26 de febrero de 1979 -- Mauldin [12] demostró que en cualquier espacio de Banach separable de dimensión infinita tenemos: (1) Para cada ordinal contable $\alpha \geq 1$ existen subespacios lineales densos que pertenecen a la clase aditiva de Borel $\alpha$ y no a la clase multiplicativa de Borel $\alpha$ . (2) Para cada ordinal contable $\alpha \geq 2$ existen subespacios lineales densos que pertenecen a la clase multiplicativa de Borel $\alpha$ y no a la clase aditiva de Borel $\alpha$ . (3) Para cada ordinal contable $\alpha \geq 2$ existen subespacios lineales densos que pertenecen a la clase ambigua de Borel $\alpha$ (es decir, pertenece a la clase aditiva de Borel $\alpha$ y a la clase multiplicativa de Borel $\alpha$ ) y no a ninguna clase inferior de Borel.
Véase en Klee [11] una interesante construcción de una cadena de longitud continua de subespacios lineales exóticos en el espacio de Hilbert $L^{2}[-1,1]$ . Para resultados misceláneos más recientes, véase Ding/Gao [4] y Farah/Solecki [5].
C. CONJUNTOS CONVEXOS EXÓTICOS
RESUMEN DE LOS RESULTADOS:
Dejemos que $X$ sea un espacio normado.
Para cada número cardinal no nulo $b \leq$ tarjeta $(X)$ , $X$ puede escribirse como una unión disjunta por pares de $b$ muchos conjuntos convexos, cada uno de los cuales es denso en $X$ .
En el enunciado anterior, podemos reforzar "denso en $X$ " a "linealmente denso en $X$ ". (Véase Klee [9] más adelante).
Las fechas que figuran a continuación son las fechas de recepción (o de otro tipo) que figuran en el documento.
10 de diciembre de 1940 -- Turkey [15] (Sección 5, p. 101) demostró que cada espacio normado de dimensión infinita $X$ es una unión disjunta de dos conjuntos convexos, cada uno de los cuales es denso en $X$ .
12 de octubre de 1948 -- Klee [8]. Sea X un espacio de Banach de dimensión infinita y sea $b$ sea cualquier número cardinal no nulo menor o igual a card $(X)$ . Entonces $X$ es una unión disjunta por pares de $b$ muchos conjuntos convexos, cada uno de los cuales es denso en $X$ .
¿a principios de 1950? -- Klee [9] mejoró el resultado anterior reforzando "denso" a "ubicuo". El término de Klee " $E$ es omnipresente en $X$ " significa que el cierre lineal de $E$ es igual a $X$ donde el cierre lineal de un conjunto $E$ se define como $E \cup \{x \in X:$ existe $e$ en $E$ tal que el segmento semiabierto $[e,x)$ es un subconjunto de $E\}$ . El cierre lineal de un conjunto convexo en ${\mathbb R}^{n}$ es igual al cierre de ese conjunto convexo]. Por cierto, el resultado de Klee tiene sentido, y se mantiene, en cualquier espacio vectorial infinito de los números reales, y fue en este entorno donde Klee lo demostró. Klee menciona al final de su artículo que los conjuntos que utilizó para demostrar los resultados en Klee [8] son no omnipresente.
14 de julio de 1951 -- Pettis [14] observó (p. 614, Teorema 4) que cada espacio de Banach de dimensión infinita $X$ es una unión disjunta por pares de muchos hiperplanos continuos, cada uno de los cuales es denso en $X$ . Pettis obtuvo este resultado considerando los conjuntos $f^{-1}[\{r\}]$ , como $r$ varía sobre los números reales, para un funcional lineal discontinuo $f$ .
D. REFERENCIAS
1] Stefan Banach, "Theory of Linear Operations", Monografie Matematyczne #1, 1932, viii + 252 páginas.
http://books.google.com/books?vid=ISBN0828401101
Busque en este libro = "Sternbach", elija la p. 235, vea la mitad inferior de la p. 235.
2] Stefan Banach y Kazimierz [Casimir] Kuratowski, "On the structure of linear sets", Studia Mathematica 4 (1933), 95-99.
http://matwbn.icm.edu.pl/tresc.php?wyd=2&tom=4
3] Stefan Banach y Stanislaw Mazur, "A remark on the convergence sets of sequences of linear operations", Studia Mathematica 4 (1933), 90-94.
http://matwbn.icm.edu.pl/tresc.php?wyd=2&tom=4
4] Longyun Ding y Su Gao, "On separable Banach subspaces", preprint, 28 de abril de 2006, 6 páginas.
http://www.math.unt.edu/~sgao/pub/paper27.pdf
5] Ilijas Farah y Slawomir Solecki, "Borel subgroups of Polish groups", Advances in Mathematics 199 #2 (30 de enero de 2006), 499-541.
Véase la p. 503 para unas breves notas históricas, o véase la p. 5 (1ª URL) o la p. 6 (2ª URL):
http://www.math.uiuc.edu/~ssolecki/papers/borpolulm24.pdf
http://www.math.yorku.ca/~ifarah/Ftp/borpolulm-final.pdf
6] Casper Goffman y George Pedrick, "First Course in Functional Analysis", 2ª edición, Chelsea Publishing Company, 1983, 284 páginas.
http://books.google.com/books?vid=ISBN0828403198
Buscar en este libro = "Blumberg", elegir p. 80 .
7] Felix Hausdorff, "On the theory of linear metric spaces", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 167 (1932), 294-311.
http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/cache/toc/D260807.html
8] Victor L. Klee, "Dense convex sets", Duke Mathematical Journal 16 #2 (junio de 1949), 351-354.
9] Victor L. Klee, "Decomposition of an infinite-dimensional linear system into ubiquitous convex sets", American Mathematical Monthly 57 #8 (October 1950), 540-541.
10] Victor L. Klee, "On the Borelian and projective types of linear subspaces", Mathematica Scandinavica 6 (1958), 189-199.
http://www.mscand.dk/issue.php?year=1958&volume=6
11] Victor L. Klee, "Solution to Monthly Problem #5717", American Mathematical Monthly 78 #3 (marzo de 1971), 308-309.
Propuesto por W. H. Ruckle: "Sin utilizar el axioma de elección (es decir, sin la base de Hamel) construir un continuo $\{X_{r}: 0 < r \leq 1\}$ de subespacios lineales de un espacio de Hilbert $H$ que tiene las siguientes propiedades (a) $X_r$ es denso en $H$ para cada $r$ b) si $r < s$ , $X_r$ [es un subconjunto propio de] $X_s$ y $X_{s}/X_{r}$ tiene una dimensión incontable; (c) [la unión de todas las $X_r$ s no es igual a] $H$ ."
La solución de Klee: "Representar el espacio de Hilbert como $L^{2}[-1,1]$ . Para cada $r$ en $[0,1]$ , dejemos que $X_r$ consiste en todas las funciones $f$ en $L^{2}[-1,1]$ tal que para algunos $a < r$ La restricción de $f$ a $[a,1]$ es equivalente a una función que sólo asume un número finito de valores. El conjunto $\{X_{r}\}$ cumple todas las condiciones del problema".
12] R. Daniel Mauldin, "On the Borel subspaces of algebraic structures", Indiana University Mathematics Journal 29 #2 (1980), 261-265.
13] Stanislaw Mazur y Leonard Paul Sternbach, "On Borel's types of linear sets", Studia Mathematica 4 (1933), 48-53.
http://matwbn.icm.edu.pl/tresc.php?wyd=2&tom=4
14] Billy James Pettis, "On a vector space construction by Hausdorff", Proceedings of the American Mathematical Society 8 (1957), 611-616.
http://www.ams.org/journals/proc/1957-008-03/
15] John Wilder Turkey, "Some notes on the separation of convex sets", Portugaliae Mathematica 3 (1942), 95-102.
freespace
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9024
Del documento R. R. Phelps: Espacios lineales sub-reflexivos normados , Archivo de Matemáticas Volumen 8, número 6, 444-450
Teorema 3.1 (KLEE). Supongamos que el espacio lineal topológico $E$ tiene una base vecinal $\mathcal U$ en el origen tal que $\operatorname{card} \mathcal U$ es menor o igual que la dimensión de $E$ . Entonces $E$ admite una base densa de Hamel.
Una consecuencia del teorema anterior es que todo espacio lineal métrico de dimensión infinita lineal de dimensión infinita contiene una base densa de Hamel. Este resultado es dado por MACKEY [8, p. 185] para $\aleph_0$ -espacios lineales normalizados.
G. W. Mackey, Sobre espacios lineales de dimensión infinita . Trans. Amer. math. Soc. 57, 155--207 (1945).
lowglider
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562
Creo que puedo esbozar una prueba de que $\mathbb R$ visto como un espacio vectorial sobre $\mathbb Q$ tiene una base densa de Hamel. (Por supuesto, esta prueba se basa en gran medida en el axioma de elección; sin él, $\mathbb R$ en $\mathbb Q$ podría no tener ninguna base Hamel).
Primero, elige cualquier base de Hamel $\mathcal H$ para $\mathbb R$ en $\mathbb Q$ . Dejemos que $f$ sea una enumeración de $\mathbb Q$ (es decir, una biyección de $\mathbb N$ a $\mathbb Q$ ), y que $g$ sea una inyección de $\mathbb N$ a $\mathcal H$ .
Ahora, para cada $n \in \mathbb N$ , elija un elemento $x_n$ de $g(n)\mathbb Q \cap [f(n)-\frac 1n, f(n)+\frac 1n]$ . El conjunto $\mathcal X = \{x_1, x_2, \ldots\}$ es obviamente linealmente independiente (sobre $\mathbb Q$ ). Afirmo que también es denso en $\mathbb R$ .
Para demostrar esto, necesitamos mostrar que todo intervalo abierto $(a,b) \subset \mathbb R$ , $a < b$ contiene algunos $x_n \in \mathcal X$ . Dejemos que $\delta = (b-a)/3$ y que $m = 1/\delta$ . Dado que el intervalo $(a+\delta, b-\delta)$ contiene infinitos elementos de $\mathbb Q$ debe contener algún $q \in \mathbb Q$ tal que $q = f(n)$ para algunos $n > m$ . Así, $|x_n - q| \le \frac 1n < \frac 1m = \delta$ y así $x_n \in (a,b)$ .
Por supuesto, también podemos ampliar $\mathcal X$ a una base completa de Hamel añadiendo $\mathcal H \setminus g(\mathbb N)$ a ella.
Natrium
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171
Se trata de una pregunta bastante interesante a la que intentaré dar respuesta, aunque no soy un experto en este campo.
Lo primero que pensé fue en decir algo sobre las series de Fourier o el teorema de Stone-Weierstrass, pero luego me di cuenta de que la cuestión es si tales subconjuntos existen en todos los espacios normados .
Después de pensarlo dos veces, recordé que estos conjuntos tienen un nombre Bases Schauder . Como es bien sabido, que Bases de Hamel existen en cualquier espacio vectorial. La diferencia entre estos dos tipos de bases es que una base de Hamel requiere una combinación lineal finita para representar cualquier elemento del espacio vectorial, mientras que con una base de Schauder se pueden tomar sumas infinitas siempre que exista una noción de convergencia (como en los espacios normados).
Entonces busqué un poco en Google y descubrí que la respuesta es NO.
Según este "Per Enflo encontró un espacio de Banach separable que no tiene una base de Schauder". ( Por Enflo es un matemático muy interesante, por cierto).
Más tarde me encontré con otro enlace donde se trató este tema con mayor detalle.
Para @Davide Giraudo: A linealmente independiente es un subconjunto que no es linealmente dependiente.
Un subconjunto de un espacio vectorial se llama depende linealmente si hay un elemento en este subconjunto que es una combinación lineal de a finito número de elementos de este subconjunto.
