¿Por qué isn ' t esta bien pedido de $\{A\subseteq\mathbb N\mid A\text{ is infinite}\}$?

Question

Así, para explicar el título, me estoy refiriendo a la necesidad del axioma de elección en la existencia de un pedido de reales, o cualquier multitud innumerable.

Ahora, mientras afinando algunos juegos, me encontré con esto :

Empezamos con los números naturales, $N$. Tenemos el poder conjunto de los naturales, $P(N)$.

A continuación, eliminamos todos los subconjuntos finitos de $N$$P(N)$. Llamamos a este nuevo conjunto $S$. Este es el conjunto de todos los infinitos subconjuntos de a $N$.

Es fácil mostrar que $S$ tiene innumerables cardinalidad, el mismo que el de los números reales. Esto es debido a que la eliminación de los subconjuntos finitos sólo quita un conteo del número de elementos. (No he publicado esta deducción, pues es muy fácil, pero puedo publicar si no es tan evidente)

Ahora, buscamos encontrar un orden en el conjunto de $S$. Cada conjunto en este conjunto es un subconjunto infinito de los números naturales, de manera que cada uno de estos conjuntos se encuentran ordenados por el natural orden de $N$.

Tomando cualquiera de los dos conjuntos en $S$, decir $A$, e $B$, buscamos el fin de ellos, mediante la comprobación de sus elementos lexicográficamente. Podemos comparar los dos primeros elementos en $A$, e $B$. Deje que ellos se $a_1$, e $b_1$ respectivamente. Si $a_1 = b_1$, a continuación, pasamos al segundo de los elementos en los conjuntos, $a_2$, e $b_2$, y así sucesivamente. Si, en cualquier momento, $a_n < b_n$, $A < B$ o si $b_n < a_n$,$B < A$.

Esta orden parece ser un bien ordenación del infinito incontable de reales. Me parece que no han invocado el axioma de elección en cualquier lugar en la construcción de este conjunto $S$.

Así que, ¿por qué no esta bien el pedido en la incontable de reales?

Answer 1

Para cada número natural $n$, vamos a $A_n$ el conjunto $\mathbb{N}$ con el número de $n$ retirado de ella. A continuación, considere la posibilidad de la colección de $A = \{A_n \colon n \in \mathbb{N}\}$.

Entonces el conjunto $A$ no tiene ningún elemento más pequeño en su pedido, mostrando que no es un buen orden, después de todo.

Prueba: supongamos $B$ ser un elemento de $A$. A continuación, $B = A_n$ algunos $n$. Pero, a continuación, $A_{n+1} < B$ desde el primer $n - 1$ elementos de ambos conjuntos son iguales, y el $n$'th elemento de $A_{n+1}$$n$, que es menor que el $n$'th elemento de $B$,$n + 1$.

EDIT: por lo que la cosa importante aquí es que un pedido se llama una orden, si no es sólo un orden, pero también tiene la propiedad adicional de que cada conjunto tiene un elemento más pequeño.