Si $x_n \geq 0$ para todos n $\in N$ $lim((-1)^nx_n)$ existe. Mostrar que $x_n$ converge.

Question

Si $x_n \geq 0$ para todos n $\in N$ $lim((-1)^nx_n)$ existe. Mostrar que $x_n$ converge.

Deje $lim((-1)^nx_n)=l$

por lo tanto,

para $\epsilon>0$ $\exists k\in N $ tal que

$|(-1)^nx_n - l|<\epsilon/2$ $\forall n\geq k$

$=>|x_n + l| < \epsilon/2 $ $\forall n\geq k$ & n es impar

$-\epsilon/2 - l<x_n<\epsilon/2-l$ $\forall n\geq k$ & n es impar --> eq 1

también,

$|x_n - l| < \epsilon/2 $ $\forall n\geq k$ & n es incluso

$=>-\epsilon/2 +l<x_n<\epsilon/2 + l$ $\forall n\geq k$ & n es incluso --eq 2

a partir del 1 y el 2,

$-\epsilon < x_n < \epsilon$ $\forall n\geq k$

$=> |x_n - 0| < \epsilon $ $\forall n\geq k$

Por lo tanto $lim(x_n) = 0 $

Es este argumento correcto?

Answer 1

Creo que este enfoque podría ser mejor (Como también se señaló en los comentarios de @ ΘΣΦGenSan arriba):

Utilice el triángulo de la desigualdad en el paso muy temprano.

$||x_n|-|l|| \le |(-1)^n x_n-l| \lt \frac {\epsilon}2 \; \forall \; n \ge k$.

Pero desde $x_n \ge 0 \; \forall \; n \in \Bbb N$ nos es dada en la hipótesis.

$\therefore |x_n-|l|| \lt \frac {\epsilon}2 \lt \epsilon \; \forall \; n \ge k$. A partir de aquí, podemos concluir que $x_n$ converge.

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EDIT: $x_n$ de hecho converge a$0$, pero no por la suma de ($1$) y ($2$). Mi respuesta fue que sólo sirve para demostrar que $x_n$ es convergente.

Para demostrar que converge a $0$ específicamente, la primera nota que $l$ es un número real.

Suponga $l \gt 0$. A continuación, por su ($1$) y el uso de $x_n \ge 0 \; \forall \; n \in \Bbb N$, obtenemos $0 \le x_n \lt \frac {\epsilon}2-l \; \forall \; n \ge k$. Por lo tanto, de muy pequeño $\epsilon$, obtenemos el absurdo.

Suponga $l \lt 0$. Luego de su ($2$) y la propiedad $x_n \ge 0 \; \forall \; n \in \Bbb N$ rendimientos $0 \le x_n \lt \frac {\epsilon}2 +l \; \forall \; n \ge k$. De nuevo por muy pequeño $\epsilon$ los valores que este produce el absurdo.

Por lo tanto, por la propiedad de Tricotomía de los números reales, $l=0$.

(Usted puede comprobar que para $l=0$, $0 \le x_n \lt \frac {\epsilon}2 \; \forall \; n \ge k$).