Cómo encontrar lagrange submanifolds.

Question

Estoy bastante confundido en la definición de un lagrangiano submanifold $L$ de un simpléctica colector $(M,\omega)$.

En particular, he leído que $L \subset M$ es de lagrange iff la simpléctica de campo de formulario de $\omega(x)$ evaluado en cada punto de $p\in L$ da cero. ¿Cómo es posible que $\omega$ asume el valor cero en un subconjunto $L$$M$, pero todavía no es degenerado (nunca es cero) sobre la totalidad de la $M$?!

Además, considere la posibilidad de $M=\mathbb{R}^2$ con el estándar de la forma simpléctica $\omega=dq\wedge dp$. A mí me parece que no hay lagrange submanifolds en todo, desde la forma simpléctica es constante en todas partes y nunca cero. Sin embargo, estoy leyendo que por ejemplo todos los submanifolds del tipo $q=const$ son de lagrange, en este caso.

Claramente, no estoy entendiendo bien la definición de Lagrange submanifold.

A donde voy mal?

Answer 1

La condición de ser una de lagrange submanifold $L\subset M$ significa que por cada punto de $p\in L$ y cada par de vectores tangente $X,Y\in T_pL$, $$\omega_p(X,Y)=0\,.$$ Esto no viola la no degeneración de $\omega$, ya que el $T_pL$ es simplemente un subespacio de $T_pM$. Sin embargo, la no-degeneración implica que cualquier submanifold que cumplan esta condición es de dimensión en la mayoría de las $\frac12\dim M$. Lagrange submanifolds son submanifolds satisfacer la condición por encima de la máxima posible dimensión, es decir,$\dim L=\frac12\dim M$.

Otra fue la de decir lo mismo es que el pullback $i^*\omega$ $\omega$ bajo la inclusión (suave mapa) $i:L\hookrightarrow M$ de la $2$forma $\omega$ es cero: $$i^*\omega=0\,.$$

Answer 2

En particular, he leído que $L\subset M$ es de lagrange iff la forma simpléctica campo de $\omega(x)$ evaluado en cada punto de $p\in L$ da cero.

Más precisamente, la restricción de $\omega$ $T_p L$es cero. Como un elemento de $\wedge^2 T_p M$, $\omega(p)$ es distinto de cero y no degenerada.

Por ejemplo, considere el $\mathbb{R}^2$ con la forma simpléctica $\omega=dx\wedge dy$. Esto sin duda es no degenerada, pero el 1-dimensional submanifold se extendió por $L=\langle 1,0 \rangle$ ($x$- eje) que satisface $\omega$ se desvanece en el espacio de la tangente de $L$.

Es, de hecho, un ejercicio de álgebra lineal que una forma cuadrática de la firma $(n,n)$ admite una descomposición del espacio vectorial en dos partes $V_1\oplus V_2$ s.t. la restricción de la forma a $V_i$ es trivial. (Esta descomposición no es única en general). Por ejemplo, la matriz de $$ \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix} $$ es no degenerada, pero la forma cuadrática que representa restringido a $\langle 1,0\rangle$ es sólo el cero en la esquina superior izquierda.

Sin embargo, no es en general una respuesta sencilla a la pregunta indicada en el título de tu pregunta.