Este es usualmente llamado del teorema de Fatou, creo. Una buena referencia para que se
- Milnor, la Dinámica de una variable compleja, 3ª ed. Teorema 8.6
- Carleson y Gamelin, en una Dinámica Compleja, Teorema III.2.2
La idea básica es esta. Supongamos que $f\colon \mathbb{P}^1(\mathbb{C})\to \mathbb{P}^1(\mathbb{C})$ es un racional mapa de grado $d\geq 2$ y $z_0$ es una atracción de punto fijo, por ejemplo, con $f'(z_0) = \lambda$$0<|\lambda|<1$. Supongamos por contradicción que no hay punto crítico en las inmediaciones de la cuenca de atracción de $z_0$. Debido a $z_0$ es atraer, hay algunas pequeñas bolas $U_0$ a su alrededor que se encuentra en la cuenca de atracción de $z_0$, dicen que con $f(U_0)\Subset U_0$. Si $U_0$ no contiene un valor crítico, entonces hay algunas inversa de la rama de $f^{-1}\colon U_0\to U_1$,$U_0\Subset U_1$. Del mismo modo, si $U_1$ no contiene un valor crítico, hay una relación inversa entre la rama de $f^{-1}\colon U_1\to U_2$ donde $U_1\Subset U_2$. Continuando de esta manera, podemos construir inversa ramas de $f^{-n}\colon U_0\to U_n$$U_0\Subset U_n$. Por otra parte, la $U_n$ no cumplen con el conjunto de Julia de $f$ por la construcción (están contenidas en la cuenca de atracción de $z_0$). Por lo tanto, por el teorema de Montel debe haber un subsequence de la $f^{-n}$ convergiendo en $U_0$. Esto no es posible, sin embargo, ya $(f^{-n})'(z_0) = \lambda^{-n}\to\infty$. Contradicción.
