¿Es TOP una categoría pequeña?

Question

Una pregunta rápida... ¿es la categoría de espacios topológicos y mapas continuos una categoría pequeña? Si es así, ¿cómo lo sabemos y si no, cómo sabemos que no lo es?

Answer 1

Dado que cada conjunto puede verse como un espacio topológico (por ejemplo, a través de la topología discreta) hay "al menos" tantos espacios topológicos como conjuntos; así que no, Top no es pequeño.

Sin embargo, lo es, localmente pequeño: para $X, Y$ espacios fijos, la colección $Hom(X, Y)$ de todos los mapas continuos de $X$ a $Y$ es un conjunto (nótese que hay como máximo $\vert Y\vert^{\vert X\vert}$ -muchos de ellos).

Answer 2

Las categorías de conjuntos con estructura básicamente nunca son pequeñas, incluso algo tan simple como la colección de conjuntos de un solo elemento no es pequeña (¡hay demasiadas opciones para lo que puede ser ese único elemento!)

Algunas de estas categorías pueden ser esencialmente pequeño , lo que significa que son equivalentes a una categoría pequeña. Por ejemplo, la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita sobre $\mathbb{R}$ no es pequeño, pero es esencialmente pequeño.

Sin embargo, Top ni siquiera es esencialmente pequeño, por otra sencilla razón teórica de conjuntos: para cada número cardinal existe un conjunto discreto de esa cardinalidad, y todos ellos son no isomorfos. La colección de números cardinales no es pequeña, y en consecuencia la colección de objetos de Top no puede ser pequeño.

O dicho de otra manera, Set es una subcategoría completa de Top con una de estas incrustaciones dada por la selección de la topología discreta (la topología indiscreta también funciona). Dado que Set no es pequeño, tampoco lo es Top .