Retroceso de un haz lineal amplio a través de una proyección

Question

Supongamos que $X_1$ y $X_2$ son dos curvas proyectivas suaves y sea $M_i$ sea un haz de líneas amplio sobre $X_i$ para $i=1,2$ . Además, denotemos el mapa de proyección natural sobre la $i$ -ésimo factor por $$\pi_i:X_1\times X_2 \to X_i \,.$$

Necesito demostrar que el haz de líneas $\pi_1^* M_1\otimes\pi_2^* M_2$ en $X_1\times X_2$ es amplio.

Sé que, según el criterio de Nakai, si $\pi_i$ fuera un morfismo finito entonces el haz de líneas $\pi_i^* M_i$ sería suficiente. Sin embargo, este no es el caso aquí, ya que $\pi_i$ no es finito. Creo que $\pi_i^* M_i$ por sí sola no es suficiente en el espacio de productos, pero $\pi_1^* M_1\otimes\pi_2^* M_2$ en realidad lo es.

¿Qué podría hacer para ver esto? Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Los paquetes $\pi^*_i M_i$ son definitivamente no muy bien: El criterio de Nakai es un si y sólo si, pero $\pi^*_i M_i$ es trivial en curvas de la forma $\pi_i^*(p)$ para $p$ un punto, por lo que no puede ser amplio.

Por otro lado, basta con aplicar el criterio de Nakai al paquete que realmente se desea. Llámalo $L$ . Puesto que cada $M_i$ es amplio, algún múltiplo de cada uno de ellos es muy amplio, por lo que sustituir $L$ por un múltiplo positivo si es necesario (lo que no cambia el hecho de su amplitud o no), podemos suponer $L$ tiene una sección de la forma $\sum_i F^i_1 + \sum_j F^j_2$ donde el $F^i_1$ son fibras de $\pi_1$ y el $F^j_2$ son fibras de $\pi_2$ .

Ahora a calcular $L \cdot C$ para $C$ una curva en $X_1 \times X_2$ somos libres de elegir el $F^i_1$ y $F^j_2$ ser cualquier fibra que nos guste de las respectivas proyecciones, ya que estas fibras son todas ellas equivalentes desde el punto de vista agebraico. Por tanto, elíjalas todas para que se crucen $C$ correctamente. Además, al menos una de estas curvas debe intersecarse realmente $C$ en un número no nulo de puntos, por lo que obtenemos $L \cdot C >0$ .

Este argumento se aplica a cualquier divisor efectivo de la superficie, incluyendo $L$ por lo que también obtenemos $L^2>0$ . Por lo tanto, por Nakai, $L$ es un haz de líneas amplio.