La adición de las relaciones de orden parcial

Question

Deje $(X,\leq)$ ser un poset.

Para cada $A\subseteq X$, $a \in A$ se llama aislado iff sólo hay número finito de elementos en $A$ que puede ser comparado con él.

Un continuo (probablemente no es el mejor nombre) es uno con sólo un número finito de puntos aislados.

Supongamos ahora que todas las $a \in A$ es aislado.

1. Podemos definir un nuevo orden parcial en $X$ que subsume el original y en la nueva relación $A$ es continua?
2. Ahora vamos a $\leq '$ ser de un orden parcial en $A$ (que está de acuerdo con $\leq |\underset{A}{}$) en virtud de la cual $A$ es continua. Es allí una manera de definir un orden parcial sobre la X que está de acuerdo con ambos,$\leq$$\leq '$?

Estoy particularmente interesado en (2) donde a es contable.

Un poco de motivación: Si ambas respuestas son "sí", entonces podríamos extender las propiedades de continuo conjuntos aislados (sorprendentemente, esto podría llevar a algunos interesantes local-global teoremas que me ha sido '' - me estoy perdiendo de esta construcción) hablando acerca de esta propiedad para cada extensión descrita anteriormente y tomar el común denominador de las propiedades (que se ejecuta en las extensiones), si es que hay uno.

Seguimiento cuestión en algunos revertir la noción de esta extensión:

Un tipo de poset extensiones que plantea otro equivlance el axioma de elección?

Answer 1

A menos que me estoy perdiendo algo que es obvio, cada orden parcial puede extenderse a un orden total. Y en un orden total, $A$ es finito o será continua.

Aquí está la prueba. $X$ es un conjunto. Deje $O_X$ ser el conjunto de posibles parcial de las órdenes en $X$. Si $o_1, o_2 \in O_X$ nos dicen que $o_1 \leq o_2$ fib cada comparación que puede hacerse en $o_1$ puede ser hecho en $o_2$ y da el mismo resultado. Esta relación es un orden parcial en $O_X$. Ahora si $C$ es cualquier cadena en $O_X$, entonces usted puede definir un orden parcial $o_C$ cuando dos cosas son comparables iff son comparables para cualquier pedido en $C$. $o_C$ será una cota superior para $C$.

Por lo tanto, por el lema de Zorn, $O_X$ contiene máximo de elementos. De hecho, para cualquier orden parcial $o \in O_X$ el subconjunto de $O_X$, que es comparable a $o$ debe contener un elemento maximal.

Para terminar todo lo que tienes que hacer es demostrar que un elemento maximal de a $O_X$ debe ser un orden total. Lo que significa demostrar que si $o$ es de un orden tal, que hay dos elementos $x$ $y$ que no son comparables, a continuación, $o$ no es maximal.

Sin embargo, creo que si $o$ es de tal orden y $x$ no es comparable a $y$, entonces usted puede construir un orden parcial $o'$ que es mayor que $o$ que está de acuerdo con $o$ cuando las cosas son comparables a los de ella, y siempre que $x' \leq x$ $y \leq y'$ agrega la relación $x' \leq y'$. Hacer el trabajo mecánico de la verificación de que $o'$ está bien definido y de un orden parcial y listo.

Si concede el axioma de elección, cada orden parcial en $X$ puede ser extendido a un orden total en $X$.