Tuve esta pregunta en mi mente cuando estaba trabajando en una solución a la recurrencia factorial y se me ocurrió esta relación de recurrencia: $$(2n)!= \binom {2n}{n}(n!)^2$$ lo que me hizo preguntarme: ¿hay también una relación de recurrencia para $ \tbinom {4n}{2n}$ en términos de $ \tbinom {2n}{n}$ ? Por favor, no use factores mayores que $(2n)!$ preferiblemente no mayor que $n!$ .
Respuestas
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Anthony Shaw
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Aquí hay una estimación que da una buena aproximación de $\binom{4n}{2n}$ en términos de $\binom{2n}{n}$ .
Utilizando la identidad $$ (2n-1)!!=\frac{(2n)!}{2^nn!}\tag{1} $$ es sencillo demostrar que $$ \frac{\binom{4n}{2n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{(4n-1)!!}{(2n-1)!!^2}\tag{2} $$ Observe que $$ \begin{align} \frac{(2n-1)!!}{2^nn!} &=\frac{2n-1}{2n}\frac{2n-3}{2n-2}\frac{2n-5}{2n-4}\cdots\frac12\\ &=\frac{n-\frac12}{n}\frac{n-\frac32}{n-1}\frac{n-\frac52}{n-2}\cdots\frac{\frac12}{\;1}\\ &=\frac1{\sqrt\pi}\frac{\Gamma(n+\frac12)}{\Gamma(n+1)}\tag{3} \end{align} $$ Por La desigualdad de Gautschi tenemos $$ \frac1{\sqrt{n+1}}\le\frac{\Gamma(n+\frac12)}{\Gamma(n+1)}\le\frac1{\sqrt{n}}\tag{4} $$ Así, $(3)$ y $(4)$ rendimiento $$ \frac1{\sqrt{\pi(n+1)}}\le\frac{(2n-1)!!}{2^nn!}\le\frac1{\sqrt{\pi n}}\tag{5} $$ y $$ \frac1{\sqrt{\pi(2n+1)}}\le\frac{(4n-1)!!}{2^{2n}(2n)!}\le\frac1{\sqrt{\pi 2n}}\tag{6} $$ Dividiendo $(6)$ por $(5)$ da $$ \sqrt{\frac{n}{2n+1}}\le\frac{(4n-1)!!}{(2n-1)!!^2}4^{-n}\le\sqrt{\frac{n+1}{2n}}\tag{7} $$ Combine $(2)$ y $(7)$ para conseguir $$ 4^n\sqrt{\frac{n}{2n+1}}\le\frac{\binom{4n}{2n}}{\binom{2n}{n}}\le4^n\sqrt{\frac{n+1}{2n}}\tag{8} $$ o asintóticamente $$ \binom{4n}{2n}\sim\frac{4^n}{\sqrt2}\binom{2n}{n}\tag{9} $$
Chris K
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No puede haber ninguna fórmula multiplicativa del tipo que describes para $4n\choose 2n$ en términos de $2n\choose n$ porque hay factores primos de la primera que no son factores de la segunda. Por El postulado de Bertrand hay un número primo entre $k=2n$ y $2k$ ( $=4n$ ); ese primo será un factor de $4n\choose 2n$ pero no puede ser un factor de $2n\choose n$ o cualquier factorial de la forma $(2n)!$ o menos.
