Función zeta para curvas en una variedad

Question

Motivación

En la analogía entre los números primos y los nudos, el número primo se piensa a veces como el círculo de longitud $l([p]) = \text{log}\,p$ . Esto es para que puedas expresar la función zeta como $$ \zeta(s) = \sum_{D\ge0} e^{-l(D)s}$$

donde la suma va sobre los divisores efectivos en $\text{Spec}\,\mathbb Z$ y la longitud se extiende allí por aditividad. Del mismo modo, se puede hacer para reescribir la función zeta de Dedekind para otros campos numéricos.

Pregunta

Me pregunto, cuál es el análogo correcto de la fórmula anterior para un colector con métrica? Tal vez:

1. integración sobre todas las curvas cerradas de la expresión $e^{-l(D)s}$
2. suma sobre sumas positivas de clases de geodésicas cerradas.

Creo haber oído algo sobre la definición 2, pero sospecho que si las dos anteriores se definen correctamente serán las mismas. ¿Es posible formalizar esta definición? ¿Las diferentes formalizaciones conducen a la misma función zeta?

Actualizaciones

Sí, creo que esto debe estar relacionado con los laplacianos, la fórmula de la traza de Selberg y las zetas de los sistemas dinámicos. Lo que he dicho que he oído sobre la definición 2 era probablemente la Selberg zeta pero no puedo decirlo claramente, de ahí las preguntas.

Answer 1

Ha habido un montón de trabajo, ya que Smale la idea de una dinámica zeta función general de los flujos (en particular geodésico de flujos). Un buen punto de partida sería de 12 años de edad de revisión por Baladi. Hay una gran y literatura más reciente, pero no soy un experto, aunque esta revisión por Liverani y Tsuji es, probablemente, no muy lejos de conocimiento actual.

También hay toda una rama de la física en torno a esas ideas, de hecho relacionadas con el espectro de la Laplaciano y aplicaciones a la física cuántica y la física estadística. Este bonito libro de física es un buen comienzo (en particular, si usted lee la cita de Smale en la página 3 de este capítuloy, a continuación, observación 19.2 al final de ese capítulo, usted obtendrá una idea rápida de las cosas que he aked).

Answer 2

Con un espíritu ligeramente diferente, pero manteniendo la analogía entre curvas cerradas y primos, La fórmula de la traza de Selberg relaciona una suma sobre las longitudes de geodésicas cerradas en una superficie hiperbólica (compacta o no) con el espectro del laplaciano en dicha superficie. Si se busca en Google "Selberg trace wiki", se puede empezar a trabajar en ello.

Esta fórmula ha servido de inspiración a Guillemin y colaboradores que trabajan en la geometría espectral y el análisis micro-local.