Si $f_{n}$ son no negativos y $\int_{X}f_{n}d\mu=1$ ¿$\frac{1}{n}f_{n}$ convergen casi-en todas partes a $0$? ¿es $\frac{1}{n^{2}}f_{n}$?

Question

Pregunta de un examen de ejemplo estoy estudiando para: Supongamos $\left(X,\mathcal{F},\mu\right)$ es una medida de espacio y $f_{n}:\left(X,\mathcal{F}\right)\to\mathbb{R}$ una secuencia de no negativo integrable funciones que $\int_{X}f_{n}d\mu=1$ . Es es necesariamente cierto que $\frac{1}{n}f_{n}$ converge en casi todas partes a $0$ ? ¿qué acerca de la $\frac{1}{n^{2}}f_{n}$ ?

Mi línea de pensamiento: De Fatou la llema tenemos que: $$\int\limits _{X}\liminf_{n\to\infty}\frac{1}{n}f_{n}d\mu\geq\liminf_{n\to\infty}\int\limits _{X}\frac{1}{n}f_{n}d\mu=\liminf_{n\to\infty}\frac{1}{n}\int\limits _{X}f_{n}d\mu=\liminf_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$$ Por lo tanto $g:=\liminf\frac{1}{n}f_{n}$ no es una función negativa, cuya integral es igual a cero y por lo tanto $g=0$ casi en todas partes. Así que si yo sabía que $\frac{1}{n}f_{n}$ convergente casi en todas partes, a continuación, en particular, sería igual a $g$ casi en todas partes y por lo tanto a $0$ . He sido el tormento de mi cabeza tratando de pensar si es posible construir una secuencia con las propiedades que $\frac{1}{n}f_{n}$ no convergen en un conjunto de medida positiva. Quiero decir que esto es imposible y que ambas afirmaciones son verdaderas (lo que haría que el fraseo de la pregunta bastante decir, desde que estas preguntas generalmente implican un caso es verdadero y uno falso) pero no estoy seguro.

Agradecería la ayuda de compensación con esto!

Edit: Ya que usted sólo puede aceptar una respuesta que yo quería agradecer Hizo, Vicente y M. Luethi para sus respuestas. Combinado tenemos dos ejemplos de lo contrario para $\frac{1}{n}$ y una prueba para $\frac{1}{n^{2}}$.

Answer 1

La secuencia de la máquina de escribir refuta la convergencia casi segura de $\frac1nf_n$ (ver ejemplo 4 aquí). Para estudiar $\frac1{n^2}f_n$, generalizar un poco el escenario y considerar la función $g=\sum\limits_na_nf_n$ $\sum\limits_na_n$ Dónde está una serie con las entradas positivas y suma finita. Henri Lebesgue nos enseñó que $$\int g=\sum_na_n\int f_n=\sum_na_n$$ is finite hence $ g$ is finite almost everywhere, in particular $a_nf_n\to0$ almost everywhere. This applies to $a_n=\frac1{n^2}$.

Answer 2

Voy a hacer una respuesta pero no puedo dejar de lado algunos detalles para que usted todavía tiene que mirar un poco. Puedo agregar los detalles más tarde si es necesario.

Buscar en la unidad de intervalo de $[0,1]$ y definir una colección de revestimientos naturales: $$\begin{align}P_{k}=\left\{\left[0,\frac{1}{2^{k}}\right],\ldots,\left[\frac{2^{k}-1}{2^{k}},1\right]\right\}\end{align}$$ Define the sequence $f_{n}$ by choosing $k$ such that $2^{k}\leq n < 2^{k+1}$ and let $f_{n}:=2^{k}1_{\left[\frac{n-2^{k}}{2^{k}},\frac{n+1-2^{k}}{2^{k}}\right]}$.

Si $n\in\mathbb{N}$, $\frac{1}{n}f_{n}(x)=\frac{2^{k}}{n}$ donde $2^{k}\leq n\leq 2^{k+1}$, por lo que el $\frac{1}{2}\leq \frac{2^{k}}{n}\leq 1$. En fin a ver que todas las $x\in[0,1]$ tierras en infinitamente muchos de los intervalos, es suficiente para comprobar que, para todos los $k\in\mathbb{N}$, y para todos los $0\leq l<2^{k}$, existe un número natural $n\in\mathbb{N}$ tal que $n=2^{k}+l$, porque entonces todos los $P_{k}$ aparecen en nuestra secuencia. Pero la existencia de $n$ es obvia.

Answer 3

Definir el % de sistemas $A_{n}$como siguiendo: $ A_ {n} = \ {x \in [0,1] \,: \, \mbox{x - y es un entero con} \, \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} \leq y \leq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\}. $$ % Entonces $\mu(A_{n}) = \frac{1}{n}$. Ahora definir $f_{n}(x) = n \cdot \chi_{A_{n}}$ $\chi_{A_{n}}$ $A_{n}$ la función del indicador. $\int_{X} f_{n} d\mu = 1$ A continuación. ¿Puede usted probar que $\frac{1}{n} f_{n}(x)$ converge en ninguna parte en $[0,1]$?