Homología de la botella de Klein

Question

Lo sé en general, $H_{n}(X)$ cuenta el número de $n$ -ciclos que no son $n$ -límites de un complejo simplicial $X$ . Así que para la esfera, $H_{0}(X) \cong \mathbb{Z}$ ya que está conectado. También $H_{n}(X) = 0$ para todos $n>0$ (por ejemplo, todos $1$ -los ciclos son $1$ -límites, etc.). ¿Cómo utilizar esta interpretación geométrica para deducir que $H_{1}(X) = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_2$ donde $X$ ¿es la botella Klein? No parece corresponder al número Betti.

Answer 1

Para empezar, los números de Betti no son la homología. El número de Betti es lo que hace el "recuento" de ciclos que mencionas, pero hay algo más. El teorema de clasificación de los grupos abelianos finitamente generados dice que se puede expresar cualquier grupo como una suma directa (equivalentemente, un producto) de copias de $\mathbb{Z}$ y de $\mathbb{Z}_n$ para algunos valores de $n$ . El número de Betti es el número de copias de $\mathbb{Z}$ se obtiene, es decir, el mayor subgrupo libre posible (el resto se denomina torsión del grupo). Si ya has hecho homología con coeficientes, una buena forma de conseguirlo es tomando coeficientes en $\mathbb{Q}$ que aniquila todos los elementos de orden finito y te deja con un $\mathbb{Q}$ -cuya dimensión es el número de Betti.

Pero volvamos a la historia principal. En lugar de encontrar los números de torsión y de Betti individualmente, especialmente para complejos simpliciales, me parece más fácil calcular la homología mediante $H_n=\text{ker}(d_n)/\text{im}(d_{n+1})$ . Utilicemos la siguiente imagen:

Tenemos un único $0$ -simplex, que llamaré $v$ tres $1$ -simples, de los cuales el horizontal será $a$ la vertical $b$ y la diagonal $c$ y dos $2$ -simples, de los cuales el superior es $U$ y el inferior $L$ . Estoy orientando las aristas en la dirección de sus flechas; las caras están orientadas de modo que sus límites están en la dirección de dos aristas, en lugar de una.

Para $H_1$ desea que el $1$ -ciclos mod los que limitan un $2$ -célula. Como cada arista es un ciclo, el grupo de $1$ -es el grupo abeliano libre sobre $a,b,c$ . El límite de $U$ es $a+b-c$ y la de $L$ es $c+a-b$ . Así que estamos viendo $\langle a,b,c\rangle/\langle a+b-c,a-b+c\rangle$ . Simplifiquemos esto a $\langle a+b-c,b,c\rangle/\langle a+b-c,2b-2c\rangle=\langle b,c\rangle/\langle 2b-2c\rangle$ ... y de nuevo a $\langle b-c,c\rangle/\langle 2b-2c\rangle$ . Configuración $d=b-c$ Esto es sólo $\langle d\rangle/\langle 2d\rangle\oplus\langle c\rangle$ que es $\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}_2$ .

Si estás familiarizado con la teoría del grupo fundamental, hay un teorema genial que dice que $H_1(X)$ es la abelianización de $\pi_1(X,x_0)$ para rutas conectadas $X$ . Esta es otra buena forma de visualizar la torsión en este caso concreto. No sé sobre la botella de Klein, pero $\mathbb{RP}^2$ tiene un elemento de orden $2$ en su grupo fundamental dado por (visualizándolo como un disco con su frontera cociente por el mapa antipodal) un camino desde un punto en la frontera al punto "opuesto" en la frontera. En el caso de $H_1$ se puede imaginar la torsión como la "versión homológica" de este fenómeno.

Answer 2

Piensa en la botella como dos bandas de Möbius pegadas por sus bordes. Un bucle cerrado que rodea una de las bandas (a lo largo de su centro, por ejemplo) no es un límite, pero si lo sigues dos veces se convierte en uno: puedes pensar en él como un bucle que sigue precisamente el borde de una de las bandas originales, por lo que es justo el límite de esa banda. Esto nos da la parte de "torsión" de la homología, y nos muestra que la homología es un invariante un poco más refinado que el simple recuento del número de bucles cerrados "vacíos".

EDIT: quizá valga la pena señalar que el término "torsión" en teoría de grupos, que corresponde a elementos de orden finito, se deriva precisamente de esta imagen geométrica: el elemento de torsión resulta del "giro" en la banda.

Answer 3

La segunda homología Z de la botella de Klein es cero porque es una superficie no orientable. Así que el único grupo de homología que hay que calcular es el primero.

El grupo fundamental de la botella de Klein es isomorfo al grupo de isometrías del plano generado por la red estándar (todos los pares (x,y) donde x e y son enteros) y el mapa (x,y) -> (x + 1/2, -y).

Se calcula que el subgrupo conmutador está generado por los puntos de la red (0,2m).

En el grupo cociente, (0,m) genera un subgrupo de orden 2 y (x + 1/2, -y) genera una copia de Z.