¿Un "sistema abierto" es sólo un espacio topológico?

Question

Considero que un "conjunto abierto" es "amplio" o "espacioso", en el sentido de que alrededor de cada punto hay un poco de espacio. Esto motiva la siguiente definición.

Definición. Un "sistema abierto" consiste en un conjunto subyacente $X$ junto con una colección de subconjuntos de $X$ que se consideran "abiertos", de manera que para todos los $A \subseteq X$ se sostiene que si

• para todos $a \in A$ existe un abierto $B \subseteq A$ tal que $a \in B$

entonces

• $A$ está abierto.

Pregunta. ¿Un "sistema abierto" es sólo un espacio topológico?

Answer 1

En un espacio topológico se requiere que los conjuntos abiertos sean cerrados bajo uniones (lo que se cumple trivialmente en su caso), pero también bajo intersección finita.

Su "sistema abierto", por otro lado, puede ser cualquier colección de subconjuntos cerrados bajo uniones ( $A\subseteq A$ está abierto si $A$ está abierto, y $a\in A$ satisface $a\in A$ también); o si necesita $B\subsetneqq A$ , se desestima cualquier punto aislado porque $\{x\}$ no puede ser abierto, y por inducción ningún conjunto finito puede ser abierto (excepto el conjunto vacío, quizás). En cualquier caso, no parece que los "sistemas abiertos" sean cerrados bajo intersecciones.

Answer 2

Dejemos que $X$ sea un conjunto. Entonces una colección $\mathscr{C}$ de subconjuntos de $X$ es un "sistema abierto" si y sólo si $\mathscr{C}$ se cierra bajo las uniones.

Una dirección es fácil. Supongamos entonces que $\mathscr{C}$ se cierra bajo las uniones. Sea $A$ sea un subconjunto de $X$ y asumir que para cada $a \in A$ existe un $B_a \in \mathscr{C}$ tal que $a \in B_a \subseteq A$ . Entonces $A = \cup_{a \in A} B_a$ Así que $A \in \mathscr{C}$ desde $\mathscr{C}$ es cerrado bajo uniones arbitrarias.

Ahora debería ser fácil encontrar "sistemas abiertos" que no sean espacios topológicos, es decir, colecciones de subconjuntos que sean cerrados bajo uniones pero no bajo intersecciones finitas.