Calcula: $\int \frac{px^{p+2q-1} - qx^{q-1}}{x^{2p+2q}+2x^{p+q}+1} dx $

Question

Encuentre la siguiente integración

$$\int \frac{px^{p+2q-1} - qx^{q-1}}{x^{2p+2q}+2x^{p+q}+1} dx $$

Answer 1

Escribe la fracción en la forma

$$ \frac{px^{p-1}-qx^{-q-1}}{(x^p+x^{-q})^2} $$ A partir de aquí, deberías ser capaz de resolverlo, utilizando la sustitución $u=x^p+x^{-q}$ .

Answer 2

Bueno, no es una integral agradable. Puede que esto te sirva de ayuda. Primero simplifica el denominador: $$x^{2p+2q}+2x^{p+q}+1=(x^{p+q}+1)^2 dx$$ Luego el numerador (tratará de hacer la misma potencia que en el denominador para cambiar de variable): $$px^{p+2q-1} - qx^{q-1}=x^{p+q-1}(px^q-qx^{-p})$$ A continuación, coloque $x^{p+q-1}$ bajo signo de diferenciación. Y obtendrás: $$\frac{1}{p+q}\int \frac{(px^q-qx^{-p})}{(x^{p+q}+1)^2} dx^{p+q}$$ Entonces puede cambiar la variable a $t=x^{p+q}$ . Pero el resultado seguirá sin ser muy bonito. $$\frac{1}{p+q}\int \frac{(pt^{\frac{q}{p+q}}-qt^{-{\frac{p}{p+q}}})}{(t+1)^2} dt$$ Mathematica dice que será $$-\frac{1}{p+q}\frac{(p+q) t^{\frac{q}{p+q}}}{t+1}$$ Pero cada una de las integrales tiene la respuesta en términos de la función hipergeométrica de Gauss.