¿Que medios utilizar? (RMS vs AM vs GM vs HM)

Question

La generalización de la media (potencia media) con exponente $p$ $n$ números de $x_1, x_2, \ldots, x_n$ se define como

$$ \bar x = \left(\frac{1}{n} \sum x_i^p\right)^{1/p}. $$

Esto es equivalente a la de la media armónica, la media aritmética y la media de la raíz cuadrada de $p = -1$, $p = 1$, y $p = 2$, respectivamente. También su límite en $p = 0$ es igual a la media geométrica.

Cuando se debe a diferentes medios se pueden utilizar? Sé que la media armónica es útil para calcular el promedio de las velocidades y la llanura media aritmética es, sin duda utiliza más a menudo, pero nunca he visto ningún utiliza explicado por la media geométrica o de la raíz cuadrada de la media aritmética. (Aunque la desviación estándar es la raíz cuadrada de la media aritmética de las desviaciones de la media aritmética para obtener una lista de números).

Answer 1

Un caso especial importante de la desigualdad de AM-GM es el producto de dos números (positivos) con una suma constante en un máximo cuando son iguales. Esto viene un montón.

Answer 2

Una posible respuesta es para definir imparcial estimadores de distribuciones de probabilidad. Muchas veces desea algún tipo de transformación de los datos que obtiene más cerca, o exactamente a una distribución normal. Por ejemplo, los productos de la lognormal variables son, de nuevo, lognormal, por lo que la media geométrica es apropiado aquí (o, equivalentemente, el aditivo media en el logaritmo natural de los datos). Del mismo modo, hay casos donde los datos son, naturalmente, recíprocos o coeficientes de las variables aleatorias y, a continuación, la media armónica puede ser utilizado para obtener estimadores insesgados de. Estas se muestran en actuarial de las aplicaciones, por ejemplo.

Answer 3

Tengo que admitir que realmente no sabe qué tipo de respuesta que tu buscas. Así que, voy a decir algo que podría muy bien ser completamente irrelevante para sus fines, pero que me gusta. Al menos, voy a dar un poco de contexto para el poder significa que le pidieron.

Estos generalizada de poder son, básicamente, el discreto (finitary), análogos de la L^p normas. Así, por ejemplo, es de esas normas que demostrar (mediante, por ejemplo, en la escuela primaria de cálculo) el finitary versión del Titular de la desigualdad, que es realmente importante en el análisis, porque lleva (a través de una limitación de argumento) a la más importante el hecho de que $L^p$ $L^q$ espacios (que son continuos los análogos de estos finitary $l^p$ espacios) se doble para $p,q$ conjugado exponentes.

Esta dualidad es realmente importante: por ejemplo, si usted está tratando de demostrar algo acerca de la $L^p$ espacios que se conservan bajo la dualidad, usted sólo tiene que restringir a sí mismo para el caso de $1 \leq p \leq 2$. La teoría de la singular integral operadores proporciona ejemplos de esto: básicamente, es fácil demostrar que son limitados (es decir, razonablemente bien educados) por $p=2$ por el análisis de Fourier; que demostrar que son "débiles acotado" en la $L^1$ (en algún sentido que no voy a hacer precisos); a continuación, se aplican a los resultados generales de interpolación para obtener acotamiento en el rango de $1-2$; por último, esta dualidad operación da por $p>2$ .

También, de la raíz cuadrada media de la velocidad se utiliza para definir la temperatura en la física.