¿En qué circunstancias es el Laplaciano compacto?

Question

Quiero saber cuando el Laplaciano es un operador compacto. ¿Conoces alguna buena literatura acerca de este tema?

¿Por ejemplo, es el Pacto del laplaciano en el % de espacio de Sobolev $H^2(\Omega)$? ¿O tal vez en el % de espacio de Hilbert $C^{\infty}_c(\Omega)$con el % de producto interno $\langle f,g\rangle:=\int\limits_{\Omega}f\cdot g\text{ }dx$?

Gracias por sus respuestas.

Answer 1

Que $E:=\{u\in H^1_0(\Omega),\Delta u\in L^2(\Omega)\}$ con la norma $||u||_E:=||u||_{H^1_0(\Omega)}$. Podemos ver que $-\Delta\colon E\to L^2(\Omega)$ es un isomorfismo. Que $T\colon L^2(\Omega)\to E$ su inversa. Entonces, usando el hecho de que $E \hookrightarrow H^1_0(\Omega)$ es continua y $H_0^1(\Omega)\hookrightarrow L^2(\Omega)$ es compacto, Haz que $T$ es compacto, por lo que no se puede compacto en $-\Delta$ $E$. En particular, no puede ser compacto en $H^2(\Omega)$.