Soluciones del número entero de una ecuación cúbica

Question

$\mathrm {gcd}(x,y)=1$ tengo la siguiente ecuación: $$x^3-xy^2+1=N$ $
Quiero encontrar las soluciones del número entero, dado un N, de la variables $x$ y $y$. He intentado Factorizando la ecuación en $x(x^2-y^2)=N-1$ y luego trató de vincular a ecuación de Pell, pero hasta ahora no tengo nada, aún no entiendo cómo se resuelve la ecuación de Pell (a pesar de que conozco el método, yo no puedo comprender la intuición o el razonamiento detrás de él), le agradeceria cualquier ayuda.

Answer 1

Siempre se puede resolver para $y$:$$y=\pm\sqrt{\frac{N-1-x^3}{-x}}$$ From here, you could use brute force to find some integer $x$ value that returns integer $$ y valor.

Siempre se puede hacer al revés así, la solución para $x$.

Este es el más difícil, ya que están tratando de resolver una ecuación cúbica. Sin embargo, hay un cúbicos fórmula con mucho riguroso derivación detrás de él.

Se puede encontrar aquí.

Lamentablemente, usted todavía tiene que usar la fuerza bruta de los métodos. Pero las raíces cúbicas y esto hará que encontrar un $y$ valor que será mucho más estrecho.