¿Es una función de $L^p$ en un anillo $L^p$ restringida a casi todos los planos?

Question

Deje $n\geq3$ y considerar el anillo-como dominio $A=B(0,1)\setminus B(0,r)\subset\mathbb R^n$. Tomar cualquier número $p\in[1,\infty]$. Si $f\in L^p(A)$, es cierto que $f|_{P\cap A}\in L^p(P\cap A)$ casi cada dos dimensiones subespacio $P$$\mathbb R^n$?

Tenga en cuenta que todos los espacios de $P$ pasar por el origen, por lo que no estamos segmentando el dominio con planos paralelos. Si $A$ es reemplazado con el balón $B(0,1)$, la afirmación es falsa en general debido a que la función puede ser concentra cerca del origen. Por ejemplo, la función de $f(x)=|x|^{-n+1/2}$ $L^1$ pero no es $L^1$ restringido para cualquier subespacio (se cruzaba con la pelota). El Grassmannian de dos dimensiones de los subespacios de $\mathbb R^n$ es un compacto, suave colector y podemos equipar con cualquier métrica de Riemann; null conjuntos no dependen de la elección de la métrica.

Aquí están algunas ideas incompletas de la mina para probar esto, pero creo que no debería ser más una prueba directa, o al menos de algunos teoremas que podría utilizar para justificar mis argumentos:

1. Parece posible que esto se podría hacer esfera por esfera. Para una función de $f\in L^p(A)$ tenemos $f|_{S_r}\in L^p(S_r)$ donde $S_r=\partial B(0,r)$ es la esfera, para casi todos los $r$ (una prueba se puede encontrar en este MSE pregunta). Debería ser suficiente si podemos contestar a la pregunta original, con $A$ reemplazado con la esfera,$S_1$: Si tenemos un $L^p$ función en la esfera, es su restricción a casi todos los grandes círculo en $L^p$? Deje $T_1S_1$ ser la unidad de la tangente paquete de $S_1$, y denotan la proyección por $\pi:T_1S_1\to S_1$. Para $f\in L^p(S_1)$ tenemos $\pi^*f\in L^p(T_1S_1)$ (el paquete es localmente un producto para la cuantificación de $f$ implica que de $\pi^*f$). El espacio de $T_1S_1$ está muy bien foliadas por los grandes círculos con velocidad de unidad parametrización, por lo que un Fubini-tipo de teorema debe dar el resultado deseado.

2. Para una función continua $f:\bar A\to\mathbb R$ hemos $$ \int_A |f|^p=\int_G\left(\int_P K|f|^p\right)dP, $$ donde $G$ denota la Grassmannian de dos aviones y $K:A\to(0,\infty)$ es la parte radial de la función de $K(x)=c|x|^{n-1}$. La constante $c\in(0,\infty)$ puede ser calculado de forma explícita, pero es irrelevante para el argumento. Si uno puede argumentar que la misma identidad debe mantener para $f\in L^p$ así, la conclusión deseada de la siguiente manera.

Answer 1

Como felipeh señaló, el problema se reduce a $p=1$ reemplazando $f$$g = |f|^p$. (El caso de $p=\infty$ deben ser tratados por separado.)

También, el anillo puede ser sustituida por la esfera de $S^{n-1}$. De hecho, definir una función $h$ en la unidad de la esfera por $h(\xi) = \int_r^1 g(t\xi)\,dt$. A continuación,$h\in L^1(S^{n-1})$, con una norma comparable a $\|g\|_{L^1(A)}$ debido a que el factor de $\rho^{n-1}$, procedentes de integración en coordenadas esféricas, se entre $r^{n-1}$ $1$ y se puede omitir de manera segura. También, la integral de $h$ más de un círculo es comparable a la integral de la $g$ sobre el correspondiente plano, por la misma razón.

Con la anterior (opcional) simplificaciones en mente, se puede proceder como sigue. Deje $G$ ser el espacio de los círculos (identificado con $2$-aviones) equipado con normalizado (significado masa total $1$) Grassmannian medida. Definir $F:G\times [0,2\pi]\to S^{n-1}$, de modo que $F(C,\theta)$ es el punto en el círculo de $C$ con ángulo polar $\theta$, medido desde el punto de $C$ con la máxima $x_1$ coordinar, inicialmente se mueve en la dirección del aumento de la $x_2$ coordinar. Estos son bastante arbitrarias decisiones para asegurarse de que tenemos un Borel medible mapa. No es definido en algunos excepcionales círculos, pero los que han cero medida en $G$.

Equipar el espacio del producto $G\times [0,2\pi]$ con el producto $\mu$ de la normalización de las medidas en $G$$[0,2\pi]$. El punto clave es que el pushforward de este producto a la medida del $F$ es la rotación-invariante, por el diseño de $F$. Por lo tanto, esta pushforward es el normalizado de la medida de Lebesgue $\lambda$$S^{n-1}$, ya que es el único normalizado de rotación invariante en la medida en la esfera.

La definición de pushforward medida implica $\int_{S^{n-1}} h\,d\lambda = \int_{G\times [0,2\pi]} h\circ F\,d\mu$. Por lo tanto, $h\circ F$ es integrable en a $G\times [0,2\pi]$, lo que implica $h$ es integrable en una.e. círculo.

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Volviendo a $p=\infty$: en este caso, $|f|$ está limitada fuera de un conjunto null $N$. Aplicar lo anterior a $h=\chi_N$.

Answer 2

Humano Normal ya dio una buena respuesta, pero se me ocurrió otra que me gustaría compartir. Se basa en la coarea fórmula y traté de hacer que se sienta natural, con pocas opciones arbitrarias.

Como se ha señalado, es suficiente con considerar el $L^1$ funciones, así que vamos a $f\in L^1$. (Para $f\in L^p$ tenemos $|f|^p\in L^1$.) Este argumento funciona para cualquier $p<\infty$.

Consideremos el conjunto a $E=\{(x,v)\in A\times S^{n-1};v\cdot x=0\}$ y la proyección de $\pi:E\to A$ a la primera coordenada. Podemos pensar en esto como un paquete de más de $A$, y se ha localmente un producto de la estructura. Hay una natural métrica de Riemann en $E$ (heredado de $\mathbb R^n\times S^{n-1}$) y todas las fibras de $E_x=\pi^{-1}(x)$ tienen la misma medida $|S^{n-2}|$. Debido a la estructura de producto local $\pi^*f:E\to\mathbb R$ es medible y $\int_E\pi^*f=|S^{n-2}|\int_Af$, lo $\pi^*f\in L^1(E)$.

Deje $G$ ser el Grassmannian de dos aviones en $\mathbb R^n$. Definir $F:E\to G$, de modo que $F(x,v)$ es el único plano que contiene a$x$$v$. El mapa de $F$ es un buen surjection y su diferencial está en todas partes surjective. Por lo tanto, la coarea fórmula para los colectores aplicado a $\pi^*f$ nos da $$ \int_E\pi^*f = \int_{P\in G}\int_{F^{-1}(P)}\pi^*f(z)\frac1{NJ\,F(z)} \,d\sigma_P(z)\,dP, $$ donde $NJ\,F$ es normal en el Jacobiano de $F$ $\sigma_P$ es la medida en el conjunto de nivel de $F^{-1}(P)\subset E$.

Para cualquier avión $P\in G$ tenemos $\pi(F^{-1}(P))=P\cap A$. Debido a esto y a la simetría rotacional tenemos $$ |S^{n-2}|\int_Af = \int_E\pi^*f = \int_{P\in G}\int_{P\cap a}f(x)\phi(|x|) \,dx\,dP, $$ donde $dx$ representa la medida natural en el avión $P$ $\phi$ es un poco de peso de la función. La función de $\phi$ puede ser calculado de forma explícita, pero la escala adecuada requiere que $\phi(t)=t^{n-1}$ hasta un multiplicativo constante. (Por escalamiento me refiero a que teniendo en cuenta las funciones de $f$ que son compatibles en delgadas capas esféricas. Como el radio de esta esfera cambios, ambos lados deben escalar en la misma forma.) Por lo tanto, no es una constante $c>0$, de modo que $$ \int_Af = c\int_{P\in G}\int_{P\cap a}f(x)|x|^{n-1} \,dx\,dP. $$ En particular, $f|_{P\cap A}\in L^p(P\cap A)$ para casi todas las $P\in G$.