Sea$S = \{ I_n + a\cdot e_{i,j} \mid a\in\mathbb{R},\ i,j= 1,\ldots,n,\ i\neq j\}$, donde$e_{i,j}$ es la matriz con$1$ en la entrada$(i,j)$ y cero en otro lugar. Necesito una pista para ayudar a demostrar que$\langle S\rangle ={\rm SL}_n(\mathbb{R})$. Es decir, tales matrices generan el grupo multiplicativo de matrices con determinante uno.
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Sugerencia: Considere las operaciones elementales de fila necesarias para reducir la matriz$M \in \mathrm{SL}_n(\mathbb R)$ a la identidad. La multiplicación por un elemento en$S$ corresponde a una de las operaciones de fila, por lo que la pregunta que se le pide mostrar es que de hecho no necesita usar las operaciones de la otra fila al reducir$M$.
Michael Kniskern
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Acabo ahora tengo la prueba de $SL_2(\mathbb{R})$:
Vamos $M = \bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ c & d \end{smallmatrix}\bigr)$ and $\det(M) = 1$. Then $\det(M) = ad - bc = 1$ and either $c \neq 0 $ or $c = 0 \implica ad = 1$. Let's do the case that $c\neq 0$: rearranging the determinant formula we have that $b - ad/c = -1/c$. Multiply on the left of $M$ by $\bigl(\begin{smallmatrix} 1 & -a/c\\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\bigr)$ to get $\bigl(\begin{smallmatrix} 0 & -1/c\\ c & d \end{smallmatrix}\bigr) = M'$. That was a row operation of the required type, but notice that we can also perform collumn operations (multiplying on the right of $M$) since the idea is to reduce $M$ to $I_2$ through $E_1\cdots E_k\cdot M \cdot D_1\cdots D_r = I_2$, then $M = E_r^{-1}\cdots E_1^{-1} D_r^{-1}\cdots D_1^{-1}$, where each inverted elementary matrix is also one of the required type. So let's continue knowing that column ops are allowed too. $M'\cdot \bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 0\\ -c & 1 \end{smallmatrix}\bigr) = \bigl(\begin{smallmatrix} 1 & -1/c \\ c(1-d) & d \end{smallmatrix}\bigr) = M"$, and finally $\bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ -c(1-d) & 1 \end{smallmatrix}\bigr) \cdot M" = \bigl(\begin{smallmatrix} 1 & -1/c \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\bigr)$ which can clearly be reduced further to $I_2$.
Para el caso de $c = 0 \implies ad = 1$ tenemos $M = \bigl(\begin{smallmatrix} a & b \\ c & 1/a \end{smallmatrix}\bigr)$.
y una prueba de la siguiente manera a lo largo de las líneas de este post.
La prueba del caso general:
Deje $A = (a_{ij})$ $n\times n$ matriz con determinante. Si existe un valor distinto de cero de entrada de $a$ en la primera columna (fila) en la fila (columna) $i$, otros de $a_{11}$, entonces la columna(fila)-reducir el uso de $(I_n + (1-a_{11})/a \cdot e_{1i})$. Ahora hay un uno en la posición $(1,1)$ y el resto de la primera columna y la primera fila puede ser ceros fuera de la diagonal de matrices elementales.
Si el único distinto de cero en la entrada de la primera fila o columna es $a_{11}$, luego se multiplica $A$ a la izquierda por $(I_n + (1 - a_{11})/a_{11}\cdot e_{21})$. A continuación, $a_{11}$ puede ser reducido a uno y el resto de la primera columna y la primera fila puede ser reducida a cero utilizando sólo fuera de la diagonal de primaria de las matrices.
Dado que sólo las matrices de la diagonal, se utiliza el determinante de la matriz resultante es igual al determinante de a $A$ y desde allí es sólo un uno en $(1,1)$ y el resto son cero, la expansión del determinante a lo largo de la primera fila o la primera columna es igual al determinante de la matriz $A$ con la primera fila y la primera columna eliminado. Por inducción en $n$, el menor $(n-1)\times(n-1)$ matriz también es reducible a la identidad usando sólo fuera de la diagonal de primaria de las matrices.
