Si$3x^2$ es la derivada de$x^3$, ¿cómo puede$f'(x)$ ser un mapa lineal?

Question

Supongamos que tengo la función$f(x)=x^3$. La derivada es obviamente$f'(x) = 3x^2$. Pero$3x^2$ no es lineal ya que$$f'(3x) = 27x^2$ $$$3f'(x) = 9x^2$ $ Por lo tanto, esto no es un mapa lineal.

Rudin define el siguiente$$f(x+h)-f(x) = f'(x)h + r(h)$ $ donde$r(h)$ es muy pequeño, y dice que podemos considerar la derivada de$f$ en$x$ como el operador lineal que mapea% #% ps

¿Cómo esto tiene sentido?

Answer 1

$h\mapsto f'(x)h$ Es un mapa lineal de $\boldsymbol{h}$, no de$x$, que es sólo un parámetro fijo en tales preguntas. ¿No es la tangente una línea recta de todos modos?

Answer 2

Es lineal en cada punto. Por ejemplo $f'(2)=12$. Por lo tanto, el mapa lineal que esto induce es$x\mapsto 12x$.