Funcion de

Question

$$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+}}}\ldots$ $ ¿Cómo podría poner esto en una ecuación de suma? Estoy atascado. En un momento pensó que era esto:

ps

Pero eso sería sólo$$ \sum_{n=0}^{x} 2^{\frac{1}{2^x}} $, que es el valor de cada dos. Pensé que lo haría funcionar si usaba exponentes de fracción en lugar de raíces cuadradas. Pero no tengo nada.

Lo que quiero saber es, ¿cómo puedo poner esto en la notación de suma? Gracias de antemano, y si necesito corregir o explicar algo más, lo haré.

Answer 1

Usando sus fórmulas estándar de doble ángulo:

ps

Dejar$$\cos\dfrac{\pi}{2^m}= \frac{1}{2}\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+ \sqrt{2+\cdots \sqrt{2}}}}}_m$ inmediatamente produce el resultado. Si desea una representación en serie del radical anidado finito, podemos usar$m\to\infty$

ps

Tenga en cuenta que esta es una serie infinita. No creo que sea posible escribir la expresión como una suma finita : un radical anidado no es una suma en el sentido estándar.

Answer 2

Let$$a_{n}=\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2}}}$ $ Donde hay$n$$2$ s. Entonces y $a_{n+1}=\sqrt{a_{n}+2}$.

$a_{1}=\sqrt{2}$ Ya que si$a_{n}<2$,$a_{n}<2$. Por lo tanto$a_{n+1}=\sqrt{a_{n}+2}<a_{n}<2$ es monotónico aumentando y limitado por encima de$a_{n}$.

Se sigue$2$ tiende a un límite$a_{n}$ que es como máximo$L$. $2$ Debe satisfacer$L$; en otras palabras, $L=\sqrt{L+2}$.

Answer 3

Definir una secuencia de forma recursiva dejando $a_0=\sqrt{2}$$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$$n=0,1,2,\ldots$. A continuación, $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots}}}=\lim_{n\rightarrow\infty}a_n$ si el límite existe (intentar escribir los primeros términos de la secuencia para verificar este hecho).

Intuitivamente, si el límite de $L$ existe, los elementos de la secuencia debe estar tan cerca a $L$ $n$ se hace grande, así que se pueden conectar en $L$ por tanto $a_{n+1}$ $a_n$ en la recursividad de la relación anterior para obtener la ecuación de $L=\sqrt{2+L}$. La solución de este da $L=2$.

Para ser más rigurosos, tenemos que mostrar que el límite existe y justificar el por encima de la intuición. El uso de la inducción, se puede demostrar que $\{a_n\}$ es creciente y acotada arriba por $2$. La Monotonía Teorema de Convergencia , a continuación, dice que la secuencia debe converger a algunos límite de $L$. Entonces sabemos que las siguientes: $$ L=\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{2+a_n}=\sqrt{2+\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}=\sqrt{2+L} $$

Aquí hemos utilizado un par de hechos simples acerca de los límites:

1. Si el límite de $a_n$ existe, entonces el límite de $\{a_{n+1}\}$ existe y los dos límites son iguales (se utiliza para la segunda igualdad).
2. Si $f(x)$ es una función continua, y $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=L$,$\lim_{n\rightarrow\infty}f(a_n)=f(L)$. En nuestro problema $f(x)=\sqrt{x}$, por lo que podemos pasar el límite interior de la raíz cuadrada de (utilizados para el cuarto de igualdad).

De vuelta al problema en cuestión, el cuadrado ambos lados da la cuadrática $L^2-L-2=(L-2)(L+1)=0$, de modo que $L=2$ o $L=-1$. Sabemos $L$ es siempre positiva, por lo que, de hecho, $L=2$ (en realidad $L=-1$ no resuelve $L=\sqrt{2+L}$).

Answer 4

Esto no se ajusta a ninguna de las notaciones estándar por una suma ($\sum$) o producto ($\prod$). Sin embargo, usted puede definir su propia notación.

Para hacer esto, mira cómo la suma operador está definido.

En primer lugar, el vacío de la suma: $\sum_{i=n}^{n-1} a_i = 0$.

A continuación, la suma inicial (si no te gusta vacío sumas): $\sum_{i=n}^{n} a_i = a_n$.

Finalmente, el paso de inducción: Si $n > m$ $\sum_{i=m}^{n} a_i = a_n + \sum_{i=m}^{n-1} a_i$.

Vamos a emular este para su anidado radicales. Voy a llamar al operador $R$ "radicales".

El paso inicial: $R_{i=n}^n(a_i) = \sqrt{a_n}$.

A continuación, el paso de inducción: Curiosamente, se puede ir en dos direcciones: anidación hacia el interior o hacia el exterior de anidación. Al hacer sumas o productos, esto no importa, ya que las operaciones son conmutativas y asociativas. Aquí sí importa.

Primer modo (de anidación desde el exterior): Si $n > m$ $R_{i=m}^{n} a_i = \sqrt{a_n+ R_{i=m}^{n-1} a_i}$.

Segunda forma (de anidación desde el interior): Si $n > m$ $R_{i=m}^{n} a_i = R_{i=m}^{n-1} a^{(n-1)}_i$ donde $a^{(p)}_i = a_i$ si $i \ne p$ y $a^{(i)}_i = a_i+\sqrt{a_{i+1}}$.

El siguiente paso es descubrir y demostrar propiedades (límite de comportamiento, etc.) de el operador.

En cuanto a si o no esto es una mejora sobre la discusión de anidado de las raíces cuadradas, eso depende de ti.

Recuerde, sin sentido, las generalizaciones pueden al menos a veces, obtener un crédito en clase o incluso una publicación. Con suerte y habilidad, usted puede incluso hacer una carrera de ello.

Answer 5

En términos de notación, escribiría algo en este sentido:

ps