Regla inversa a la regla de L'Hôpital

Question

Si en la regla de L'Hôpital tenemos que:$f,g :(a,b)\to \mathbb{R}$, existe$f'(x)$,$g'(x)$, y$g'(x)\ne0$,

ps

Y también$$\lim_{x\to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = L,$, debe ser también

ps

¿o no? Creo que está mal en algunos casos, pero no puedo encontrar un ejemplo.

Answer 1

La excepción es que no puede ser un caso que $\lim_{x\to a^+} f'(x)$ no existe.

Así que vamos a definir

$$g(x)=x, \quad f(x)=\int_0^x(1+\sin(1/y))dy$$.

Aparentemente $\lim_{x\to 0^+}g(x)=\lim_{x\to 0^+}f(x)=0$, e $\lim_{x\to 0^+} f'(x)$ no existe.

La parte difícil es demostrar que el $\lim_{x\to 0^+} f(x)/g(x)=1$. Pero primero de todo, es cierto intuitivamente porque $\sin(1/y)$ oscila infinitamente rápido por lo que la integral se anula.

Más rigurosamente, podemos tratar la integral por definir $z=1/y$ $$ \int_0^x\sin(1/y)dy=\int_{1/x}^\infty \frac{\sin(z)}{z^2}dz $$

Se puede demostrar que $\int_\alpha^\infty[\sin(z)/z^2]dz$ está delimitada por dos sumas $$ \sum_{n=N}^\infty a_n>\int_\alpha^\infty\frac{\sin(z)}{z^2}dz>\sum_{n=N}^\infty b_n $$

Donde $N\equiv \lfloor \alpha/(2\pi)\rfloor$, $a_n$ y $b_n$ se defiend como $$ a_n\equiv \int_{2n\pi}^{(2n+2)\pi}\frac{\sin(z)}{z^2}dz, \quad b_n\equiv \int_{(2n-1)\pi}^{(2n+1)\pi}\frac{\sin(z)}{z^2}dz $$

$$ a_n=\int_{2n\pi}^{(2n+1)\pi}\sin(z)\left(\frac{1}{z^2}-\frac{1}{(z+\pi)^2}\right)dz $$ Así $$ 0<a_n<\int_{2n\pi}^{(2n+1)\pi}\left(\frac{1}{z^2}-\frac{1}{(z+\pi)^2}\right)dz =\frac{2\pi^2}{2n(2n+1)(2n+2)\pi^3} $$ Por lo tanto $a_n\sim\mathcal{O}(1/n^3)$, e $\sum_{n=N}^\infty a_n \sim \mathcal{O}(1/N^2)=\mathcal{O}(1/\alpha^2)$

por cierto,las propiedades de la suma se pueden encontrar en wolframalpha si usted está interesado. enlace 1 enlace 2

Del mismo modo, podemos demostrar que $0>\sum_{n=N}^\infty b_n \sim \mathcal{O}(1/\alpha^2)$

Así $$ \lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}\int_0^x\sin(1/y)dy=\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}\int_{1/x}^\infty \frac{\sin(z)}{z^2}dz =\lim_{x\to0^+}\frac{1}{ x}\mathcal{S}(x^2)=0 $$