¿Cuál es el producto cruzado del conjunto nulo con otro conjunto?

Question

Suponiendo que, por ejemplo, tenemos dos conjuntos$A$ y$B$ donde$\;A = \varnothing \;$ y$\,B = \{a,b\}$.

¿Cuál es el resultado del producto cruzado de esos conjuntos?

Mi primera intuición sería decir que el conjunto resultante sería el conjunto vacío, ya que no se pueden configurar pares ordenados de$B$.

¿Estoy en lo correcto?

Answer 1

Sí, está correcto: Para todos los conjuntos$B$, si$A = \varnothing$, entonces$$A \times B = \varnothing \times B = B\times A = B\times \varnothing = \varnothing$$ and for the reason you argue: there exist no ordered pairs in $ \ varnothing \ times B $, por la definición del Producto Cartesiano.

Answer 2

Sí, estás en lo correcto.

El producto cartesiano se define como$$A \times B = \{(a,b) \mid a\in A, b\in B\}.$ $

En el caso de que uno o ambos conjuntos$A$ y$B$ estén vacíos, no hay un par de índices$(a,b)$ tal que$a\in A$ y$b\in B$, que Significa$A\times B = \emptyset$.