Condición en dos números irracionales

Question

Considere dos números irracionales$a$ y$b$. ¿Hay suficientes condiciones suficientes sobre la relación entre$a$ y$b$ que me permitiría concluir que hay$c \in \mathbb{R}$,$c \neq 0$, de manera que ambos$ca$ Y$cb$ son racionales?

Answer 1

Si$a=qb$ para algunos$q\in\mathbb{Q}$ entonces la condición se mantiene claramente. Para la otra implicación, digamos que existe$0\neq c\in\mathbb{R}$ con$ca$ y$cb$ son racionales. Entonces deja$q=ca/cb$. Entonces $a=qb$.

Por lo tanto existe un$0\neq c\in\mathbb{R}$ con$ca$ y$cb$ racional iff$a=qb$ para algunos$q\in\mathbb{Q}$.