Esto es para el auto-estudio. Esta pregunta es de Rosen "Matemática Discreta Y Sus Aplicaciones", 6ª edición.
Un brazo luchador es el campeón por un período de 75 horas. (Aquí, por una hora, nos referimos a un período a partir de una hora exacta, como la 1 P. M., hasta la siguiente hora.) El brazo luchador tenía por lo menos un partido de una hora, pero no más de 125 total de los partidos.
1 - Mostrar que hay un período de horas consecutivas durante el cual el brazo luchador tenía exactamente 24 partidos.
2 - Es la declaración en el ejercicio anterior true si 24 se sustituye por
a) 2? b) 23? c) 25? d) 30?
Mi solución a la parte 1 es la siguiente, basada en Rosen de la solución a un problema similar se da como ejemplo en el texto:
1 - Si yo considerara $a_i$ a ser el número de competiciones hasta el $i^{th}$ a la hora, a continuación, $1\leq a_1<a_2<\cdots<a_{75}\leq 125$, porque no hay más de 75 horas y el número total de concursos es de no más de 125. Ahora voy a añadir 24 a todos los términos de la desigualdad anterior: $25\leq a_1+24<a_2+24<\cdots<a_{75}+24\leq 149$.
Hay 150 números de $a_1,\cdots,a_{75},a_1+24,\cdots,a_{75}+24$. Por las desigualdades anteriores, estas cifras varían de 1 a 149. Entonces, por el principio del palomar, al menos dos de ellos son iguales (en una lista de 150 números enteros que van desde 1 a 149, al menos dos son iguales).
Porque todos los números de $a_1,\cdots,a_{75}$ son distintos, y todos los números de $a_1+24,\cdots,a_{75}+24$ también son distintos, se deduce que el $a_i = a_j + 24$ algunos $i > j$. Por lo tanto, a partir de la $(j+1)^{th}$ hora a la $i^{th}$ a la hora, no fueron exactamente 24 competiciones.
Ahora, voy a mostrar el intento de una solución para la parte 2:
2 - a) El mismo razonamiento de arriba se pueden utilizar:
$1\leq a_1<a_2<\cdots<a_{75}\leq 125$. La adición de 2 a todos los términos:
$3\leq a_1 + 2<a_2 + 2<\cdots<a_{75} + 2\leq 127$
Por lo tanto, hay 150 números que van de 1 a 127. Por lo tanto, por el principio del palomar, al menos $\left \lceil \frac{150}{127} \right \rceil$ = 2 números deben ser iguales. Por lo tanto, hay un $a_i = a_j + 2$. Esto garantiza que hay un período de horas consecutivas, durante el cual no eran exactamente las 2 competiciones.
b) El mismo razonamiento de arriba se pueden utilizar:
$1\leq a_1<a_2<\cdots<a_{75}\leq 125$. La adición de 23 a todos los términos:
$24\leq a_1 + 23<a_2 + 23<\cdots<a_{75} + 23\leq 148$
Por lo tanto, hay 150 números que van de 1 a 148. Por lo tanto, por el principio del palomar, al menos $\left \lceil \frac{150}{148} \right \rceil$ = 2 números deben ser iguales. Por lo tanto, hay un $a_i = a_j + 23$. Esto garantiza que hay un período de horas consecutivas, durante el cual no se exactamente a las 23 competiciones.
c) $1\leq a_1<a_2<\cdots<a_{75}\leq 125$. La adición de 25 a todos los términos:
$26\leq a_1 + 25<a_2 + 25<\cdots<a_{75} + 25\leq 150$
En este caso, hay 150 números que van del 1 al 150. Así, no hay necesariamente dos números iguales. Por lo tanto, no podemos concluir nada directamente.
Pero es posible demostrar que la afirmación no es verdadera para el 25, porque una explícita contra-ejemplo (se sugiere a continuación en los comentarios). Supongamos que el número de partidos, hasta que cada uno de los 75 horas es, respectivamente: $\{1,2,\cdots,25,51,\cdots,75,101,\cdots,125\}$. Aquí, no hay ningún par de números cuya diferencia es de 25.
d) $1\leq a_1<a_2<\cdots<a_{75}\leq 125$. La adición de 30 a todos los términos:
$31\leq a_1 + 30<a_2 + 30<\cdots<a_{75} + 30\leq 155$
En este caso, hay 150 números que van de 1 a 155. Por lo tanto, podemos aplicar el principio del palomar aquí, de manera similar a la situación anterior. No es fácil encontrar un contra-ejemplo en este caso; creo que, para el 30, el enunciado es siempre verdadera (es decir, siempre hay un período de horas consecutivas, durante el cual no se exactamente 30 partidos). Pero no estoy seguro de cómo demostrarlo.
Edit: creo que he encontrado una manera de demostrar, basándose en la sugerencia dada por Lopsy; he incluido como una respuesta a esta pregunta.
Gracias de antemano.
