Polinómico o exponencial

Question

PROBLEMA:

Sea $f(x)$ sea una función polinómica.

Se sabe que para cada $x$ :

$$ f'(x) \leq f(x) $$

Demostrar/desmentir:

Por cada $x$ :

$$ f(x) \geq 0 $$

MI INTUICIÓN:

Supongamos por contradicción que $f(z)<0$ para algunos $z$ . Entonces $f'(z)<0$ también, así que $f$ debe bajar y bajar hasta $-\infty$ .

Además, la tasa de disminución debe ser al menos exponencial porque:

$$ |f'(x) \geq f(x)| $$

y sabemos que la igualdad se mantiene para la función exponencial.

Esto contradice el hecho de que $f(x)$ es polinómica.

MIS PREGUNTAS: ¿Es cierta mi intuición? Si es así, ¿cómo formalizarla? Si no es así, ¿cuál es la respuesta correcta?

Answer 1

Tu intuición parece bastante buena. Aquí tienes un par de apuntes sobre algunas formas de hacerla rigurosa:

1) Puesto que $f$ es un polinomio, $\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} |f'(x)|/|f(x)| = 0$ (a menos que $f \equiv 0$ ).

2) Si para algún $x_0$ , $f(x_0)<0$ entonces como $f$ es continua, existe un cierto intervalo $(a,b)$ que contiene $x_0$ tal que $f(x) < 0$ para todos $x \in (a,b)$ . Esto significa que $f'(x)<0$ para cada $x \in (a,b)$ lo que implica que $f$ es estrictamente decreciente en $(a,b)$ . En particular, se puede deducir que $f(b) < f(x_0)<0$ . Ahora, dejemos que $$A = \sup\{ y \geq b \mid f(x)<0 \text{ for every } x \in (a,y) \}$$ Si $A \neq \infty$ entonces por el mismo trabajo que antes se obtiene que $f(A) < f(x_0) < 0$ lo que implica que hay algún $\delta > 0$ tal que para todo $x \in (a, A+\delta)$ , $f(x)<0$ contradiciendo la elección de $A$ Por lo tanto $A = \infty$ .

3) A partir de la marca anterior, si $f(x_0)<0$ entonces $\forall x \geq x_0$ , $f(x) < 0$ y por lo tanto $f'(x) \leq f(x) < 0$ . Ahora, como usted ha señalado, esto significa $\forall x \geq x_0$ , $|f'(x)|/|f(x)| \geq 1$ . Pero esto contradice el primer punto.

Answer 2

Supongamos que $f<0$ en alguna parte. Sólo hay dos casos: (i) $f$ alcanza un punto crítico con un valor estrictamente negativo. Pero entonces, si $x^*$ es este punto, $f(x^*) \geq f'(x^*) =0$ una contradicción. El otro caso es que $f<0$ definitivamente. Como has notado, considerando $f(x)e^{-x}$ o $f(x)e^x$ puede demostrar que $f$ va a $-\infty$ exponencialmente rápido, y esto es imposible ya que $f$ es un polinomio. Creo que este enfoque puede hacerse completamente riguroso.

Answer 3

$f(x)$ de tus suposiciones es un polinomio, no sólo una función con crecimiento polinómico.

A partir de sus condiciones, en todos los puntos críticos, la función es no negativa. después de su último punto crítico, debe ser decreciente, pero $\deg f'=\deg(f) - 1$ así que $\lim_{x\to\infty}\frac{f}{f'} > 0$ .