Pregunta sobre la convergencia de series si$\{n a_n\} \to 0$

Question

Esto es parte del Ejercicio 3.14 (d) de PMA de Rudin. Si entiendo correctamente, sería útil probar lo siguiente:

Sea$a_n$ una secuencia. Asumir que $\lim_{n\to\infty} na_n = 0$.

Prueba que$$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k\,a_k}{n+1} = 0.$ $

Answer 1

Referencia: Cesaro Mean .

Si$\lim_{n\rightarrow +\infty}x_n=L$, entonces $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ frac {1} {n 1} \ sum_ {k = 0} ^ nx_k = L. $$

Aplique esto a$x_n=na_n$.

Answer 2

Let$\epsilon>0.$ Hay$n_0 \in \mathbb{N}$ tal que$|na_n|< \epsilon $ para todos$n>n_0.$ Then$$ \bigg|\sum_{k=1}^n ka_k \bigg|= \bigg|\sum_{k=1}^{n_0} ka_k + \sum_{k=n_0+1}^n ka_k\bigg| < \bigg|\sum_{k=1}^{n_0}ka_k\bigg| +(n-n_0)\epsilon$ $

Lo que lleva a$$\limsup_{n\to \infty} \bigg|\sum_{k=1}^n \dfrac{ka_k}{n+1}\bigg| \leq\epsilon.$ $

Dado que esto es cierto para cualquier$\epsilon>0$ debemos tener$$\lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \dfrac{ka_k}{n+1}=0.$ $