¿Existe una axiomatización mínima de ZFC?

Question

Trabajo en ZFC, ¿existe un conjunto de $\Sigma$ de las sentencias que axiomatizes ZFC (es decir, cada frase en $\Sigma$ es demostrable a partir de su favorito axiomatization de ZFC, y viceversa) y es mínima con respecto a la inclusión (es decir, ningún subconjunto de $\Sigma$ axiomatizes ZFC)?

André Nicolás comentarios sobre ¿Cuál es el mínimo axiomatization de un conjunto de estructuras? parecen sugerir que la respuesta es sí, pero yo no podía ver de inmediato cómo demostrarlo.

He considerado que la solución obvia a través de el lema de Zorn, pero no funciona. Tome el conjunto de todos los axiomatizations de ZFC, parcialmente ordenado por la inversa de la inclusión. No es el caso que cada cadena tiene una cota superior. Tenga en cuenta que para cada fórmula $\varphi$ y cada entero $n$, no es una fórmula equivalente a $\varphi$ tienen una longitud de, al menos, $n$ (podemos almohadilla $\varphi$ $\land$ing con un montón de tautologías). A continuación, vamos a $\Sigma_n$ ser ZFC, pero la eliminación de todas las instancias de la Sustitución y la Comprensión de los esquemas (o lo que sea infinito esquemas aparecen en su favorito de axiomatization) en el que la fórmula $\varphi$ tiene una longitud de menos de $n$. El argumento dado, $\Sigma_n$ todavía axiomatizes ZFC, pero cualquier límite superior $\Sigma$ para la cadena de $\Sigma_1 \supset \Sigma_2 \supset \cdots$ no contiene instancias de estos esquemas y de hecho es finito, por lo que no axiomatize ZFC. Por lo tanto, esta cadena no tiene límite superior.

Si la respuesta es sí, es cierto que cada teoría tiene un mínimo axiomatization?

Si la respuesta es no, ¿existe una teoría que no es finitely axiomatizable y tiene un mínimo axiomatization? (Cada finitely axiomatizable teoría ciertamente: revisión de un número finito de axiomatization y eliminar los axiomas uno por uno hasta que hay algo que no puede demostrar.)

Answer 1

Reclamo: Cada contables de la teoría tiene un conjunto independiente de los axiomas.

Prueba: Supongamos $\langle S_n: n < \omega \rangle$ lista de todos los teoremas de esta teoría. Inductivamente construcción $\langle T_{k} : k < \omega \rangle$ como sigue. Habiendo escogido $T_1, T_2, ..., T_k$, busque menos $n$ tal que $S_n$ no sigue de $\{T_1, .., T_k\}$. Deje $T_{k+1} = (T_1 \wedge T_2 \wedge \dots \wedge T_k) \rightarrow S_n$.

Edit: Como Carl Mummert señalado, no está claro si se podría llegar a un recursiva conjunto independiente de los axiomas para cada recursivamente axiomatizable teoría. Parece que Kreisel dio un ejemplo de un recursivamente axiomatizable la teoría con la no recursiva conjunto independiente de los axiomas. Para referencias ver el siguiente FOM post. Finalmente, ZFC y PA no tener recursiva conjunto independiente de los axiomas. Ver aquí para referencias. El argumento que utiliza el hecho de que ZFC y PA se puede demostrar la consistencia de cualquier subconjunto finito de sus axiomas: Si $\{\phi_n : n < \omega\}$ listas de sus axiomas, a continuación, $\{\psi_n : n < \omega\}$ es independiente axiomatization donde $\psi_n = \phi_n \wedge \text{Con}(\psi_1 \wedge \psi_2 \wedge \dots \wedge \psi_{n-1})$.

Sin embargo, si el estándar de los sistemas de axiomas para el hormigón teorías como ZFC y PA contiene un conjunto independiente de los axiomas está lejos de ser clara.

Answer 2

Aquí es una expresión algebraica manera de visualizar una prueba (en particular, la prueba presentada por la Mínima en otra respuesta se utiliza este método). Considerar toda álgebra de Lindenbaum para el lenguaje de ZFC, que puedo hacer para que $\bot$ es el elemento maximal. Yo la uso Y y O para representar la lógica de los operadores de conjunción y la disyunción en las fórmulas.

A continuación, el conjunto de consecuencias de ZFC es a la baja cerrada y dirigida hacia arriba -- si ZFC demuestra $\phi$ $\psi$ a continuación, se demuestra $(\phi \operatorname{AND} \psi)$. Así que el conjunto de consecuencias de ZFC es un ideal de a $I_{\text{ZFC}}$ en el álgebra. Nuestro objetivo es simplemente para demostrar que este ideal es generado por algún antichain en el álgebra. Sabemos que ZFC no es finitely axiomatizable, por lo $I_{\text{ZFC}}$ no es principal, por lo que el antichain necesariamente va a ser infinito, si es que existe.

Siguiente se verifique un estándar lema: para cada una de las $\top < B < A$ en esta álgebra, hay un $C < A$ tal que $B$ $C$ sup a $A$ (así, en particular,$C \not <B$$B\not<C$). Uno de esos $C$ es el complemento relativo de $B$ en relación al $A$, $(\lnot B) \operatorname{OR} A$ ($B \operatorname{\text{ IMPLIES }} A$).

Dado que, vamos a $(\phi_i : I \in \omega)$ ser estrictamente creciente secuencia de de la no-$\top$ axiomas que generen $I_{\text{ZFC}}$. Deje $\psi_1 = \phi_1$. Inductivamente definir $\psi_{i+1}$ tal que $\psi_i$ $\psi_{i+1}$ sup a $\phi_{i+1}$, utilizando el lema. A continuación, $\{\psi_i : i \in \omega\}$ es el deseado axiomatization.

No hay nada especial acerca de ZFC aquí, a pesar de que quieren tratar finitely axiomatizable teorías como un caso especial.

$$ \begin{array}{ccccc} &&&\vdots\\ &&&\phi_3 \\ &&\swarrow & & \searrow\\ &\phi_2 & &&& \psi_3\\ \quad\swarrow & & \searrow\\ \phi_1=\psi_1 & & & \psi_2 \end{array} $$