Consejos para probar esta convergencia.

Question

Tenemos una secuencia definida inductivamente$x_n=x_{n-1}+2y_{n-1}$ y$y_n=x_{n-1}+y_{n-1}$ donde$x_n^2-2y_n^2=\pm 1$, donde$x_0=1$ y$y_0=0$.

Necesito demostrar que la secuencia$\left(\frac{x_n}{y_n}\right)_{n=1}^\infty$ converge a$\sqrt2$.

Ahora puedo ver que$\left(\frac{x_n^2}{y_n^2}\right)_{n=1}^\infty$ converge a$2$, por lo que puede ser más fácil de probar.

Se sigue ahora que para probar esto,$\forall\epsilon >0, \exists n>N$ st$|\frac{x_n^2}{y_n^2}-2|<\epsilon$.

¿Puede alguien apuntarme en la dirección correcta para resolver esto?

Answer 1

Eso no es una afirmación equivalente. Por ejemplo,$\{ (-1)^n \}$ no converge, pero la secuencia de cuadrados de cada término converge a 1.

Usted tendrá que hacer una discusión sobre la naturaleza positiva o negativa de cada término también. Una vez que hayas hecho eso

Sugerencia: $\frac {x_n ^2}{y_n^2} - 2 = \pm \frac {1}{y_n^2}$, y$y_n \rightarrow \pm \infty$, dependiendo de sus condiciones iniciales.

Answer 2

La recursividad puede ser escrito como $$ \begin{bmatrix}x_n\\y_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{n-1}\\y_{n-1}\end{bmatrix} $$ La matriz tiene dos autovalores: las raíces de la $\lambda^2-2\lambda-1=0$; es decir, $\lambda=1\pm\sqrt{2}$.

El vector propio con el autovalor de a $1-\sqrt{2}$ es $$ \begin{bmatrix}1&2\\1&1\end{bmatrix}\color{#C00000}{\begin{bmatrix}\sqrt{2}\\-1\end{bmatrix}}=\begin{bmatrix}-2+\sqrt{2}\\-1+\sqrt{2}\end{bmatrix}=(1-\sqrt{2})\color{#C00000}{\begin{bmatrix}\sqrt{2}\\-1\end{bmatrix}} $$ El vector propio con el autovalor de a $1+\sqrt{2}$ es $$ \begin{bmatrix}1&2\\1&1\end{bmatrix}\color{#C00000}{\begin{bmatrix}\sqrt{2}\\1\end{bmatrix}}=\begin{bmatrix}2+\sqrt{2}\\1+\sqrt{2}\end{bmatrix}=(1+\sqrt{2})\color{#C00000}{\begin{bmatrix}\sqrt{2}\\1\end{bmatrix}} $$ Por lo tanto, $$ \begin{align} \begin{bmatrix}x_n\\y_n\end{bmatrix} y=\begin{bmatrix}x_0\\y_0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2\\1&1\end{bmatrix}^n\\ &=\left(a\begin{bmatrix}\sqrt{2}\\1\end{bmatrix}+b\begin{bmatrix}\sqrt{2}\\-1\end{bmatrix}\right)\begin{bmatrix}1&2\\1&1\end{bmatrix}^n\\ y=a(1+\sqrt2)^n\begin{bmatrix}\sqrt{2}\\1\end{bmatrix}+b(1-\sqrt2)^n\begin{bmatrix}\sqrt{2}\\-1\end{bmatrix}\\ y=a(1+\sqrt2)^n\left(\color{#C00000}{\begin{bmatrix}\sqrt{2}\\1\end{bmatrix}+\frac{b}{a}(2\sqrt{2}-3)^n\begin{bmatrix}\sqrt{2}\\-1\end{bmatrix}}\right) \end{align} $$ Asumiendo $a\ne0$, ¿cuál es el límite de $x_n/y_n$ en rojo?