¿Pueden los vectores propios generalizados ser generados por un escalar que no es un valor propio?

Question

He repasado la definición de los vectores propios generalizados. Sólo menciona un valor escalar (no un valor propio). ¿Puede un escalar que no sea un valor propio generar eigenvectores generalizados?

En otras palabras, para la ecuación $(A - \lambda I)^kx = 0$ para una solución $x$ ¿es posible que $\lambda$ no es un valor propio?

Answer 1

No; si $\lambda$ no es un valor propio, $(A-\lambda I)$ es regular, y los productos de matrices regulares son siempre regulares (por ejemplo, porque son invertibles), por lo que $(A-\lambda I)^k$ también es regular y $x$ debe ser $0$ para que se cumpla la ecuación.