Estabilidad del sistema no lineal dada por$\dot{x} = f_1(x) + f_2(x)$

Question

Tengo un sistema no lineal$\dot{x} = f_1(x) + f_2(x)$ definido en un dominio$U \subset \mathbb{R}^n$. Sé que$x_0$ es asintóticamente estable y el único punto de equilibrio de los dos sistemas dado por$\dot{x} = f_1(x)$ y$\dot{x}=f_2(x)$ en$U$. Mi pregunta es si$x_0$ es un punto de equilibrio estable del sistema$\dot{x} = f_1(x) + f_2(x)$. Si es así, ¿cómo se puede probar?

Gracias por adelantado.

Answer 1

Es falso en general que $x_0$ es de equilibrio estable del sistema

$\dot x = f_1(x) + f_2(x), \tag{1}$

incluso en la hipótesis de que la $x_0$ es asintóticamente estable equilibrio de

$\dot x = f_1(x) \tag{2}$

y

$\dot x = f_2(x) \tag{3}$

por separado. De hecho, podemos encontrar contraejemplos, incluso entre la clase en dos dimensiones, la real, lineal, autónoma de ecuaciones diferenciales ordinarias; estos son relativamente simples, tan lejos como las Odas se refiere.

Como se ha señalado por user58533 en su respuesta (ya eliminado), podemos, sin pérdida de generalidad, por un cambio de coordenadas, si es necesario, asumir que $x_0 = 0$, y lo hacemos desde hace la $\LaTeX$ ir un poco en el lado más fácil. Ahora, utilizando $y_1$, $y_2$ como un estándar de sistema de coordenadas en el $\Bbb R^2$, y el establecimiento de

$\mathbf r = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}, \tag{4}$

y la definición de la matriz $A_1$

$A_1 = \begin{bmatrix} \mu_1 & \nu \\ 0 & \mu 2 \end{bmatrix}, \tag{5}$

donde $\mu_1, \mu_2, \nu \in \Bbb R$, consideramos que el sistema de

$\dot {\mathbf r} = A_1 \mathbf r. \tag{6}$

La estabilidad de las propiedades de (6) se sigue directamente de un eigen-análisis de $A_1$; es fácil ver que $p_1(\lambda)$, el polinomio característico de a $A_1$, es

$p_1(\lambda) = \lambda^2 - (\mu_1 + \mu_2) \lambda + \mu_1 \mu_2; \tag{7}$

las raíces de $p_1(\lambda)$ son claramente $\mu_1$$\mu_2$; si $\mu_1, \mu_2 < 0$, el sistema (4) es asintóticamente estable asintóticamente estable puede ser. Del mismo modo podemos establecer

$A_2 = A_1^T = \begin{bmatrix} \mu_1 & 0 \\ \nu & \mu 2 \end{bmatrix}, \tag{8}$

y considerar el sistema

$\dot {\mathbf r} = A_2 \mathbf r; \tag{9}$

es fácil ver que el polinomio característico de $A_2$, $p_2(\lambda) = p_1(\lambda)$; por lo tanto los autovalores de a $A_2$ también $\mu_1$$\mu_2$; (9) tiene la misma estabilidad que las propiedades (6). Pero ahora establecer

$A = (A_1 + A_2) \tag{10}$

y considerar el sistema

$\dot {\mathbf r} = A \mathbf r = (A_1 + A_2) \mathbf r = (A_1 + A_2)\mathbf r = (A_1 + A_1^T) \mathbf r = \begin{bmatrix} 2\mu_1 & \nu \\ \nu & 2\mu_2 \end{bmatrix} \mathbf r; \tag{11}$

el polinomio característico de $A$, $p_A(\lambda)$, es

$p_A(\lambda) = \lambda^2 - 2(\mu_1 + \mu_2) \lambda + (4 \mu_1 \mu_2 - \nu^2), \tag{12}$

y a través de la fórmula cuadrática, las raíces de $p_A(\lambda)$

$\lambda_\pm = \dfrac{1}{2}(2(\mu_1 + \mu_2) \pm \sqrt{4(\mu_1 + \mu_2)^2 - 4(4 \mu_1 \mu_2 - \nu^2)})$ $ = (\mu_1 + \mu_2) \pm \sqrt{(\mu_1 - \mu_2)^2 + \nu^2}. \tag{13}$

Es fácil ver que si $\mu_1, \mu_2 < 0$ pero $\vert \nu \vert$ es lo suficientemente grande, $\lambda_+ > 0$ y por lo tanto (11) es inestable, aunque (6) y (9) son asintóticamente estable. Así pues, tenemos una lineal contraejemplo a la estabilidad de $\dot x = f_1(x) + f_2(x)$.

Totalmente no lineal ejemplo puede ser constucted mediante la adición de $A_1(x)$, $A_2(x)$ una no lineal $C^\infty$ campo de vectores $\phi$ que se desvanece en algún conjunto abierto $V \subset U$ de el origen; es decir, mediante el establecimiento de

$\dot x = f_1(x) = A_1(x) + \phi(x), \; \; \dot x = f_2(x) = A_2(x) + \phi(x) \tag{14}$

para tal $\phi$; un par de sistemas se comportan como hemos demostrado en $V$, aunque será no lineal de la porción de $U$ fuera de $V$.

Anexos; el domingo 24 de agosto de 2014 11:00 PM PST: unos cuantos más comentarios, como se había prometido: La construcción de un sistema no lineal en el último párrafo, a saber. (14), es en muchas formas un tanto artificial, aunque no presente un par de Odas las $\dot x = f_i(x) = A_ix + \phi(x)$ que satisface la OP del criterio de la no linealidad. Pero tomando las $\phi$ a ser cero en algún barrio de $U$ es, en mi opinión, excesivo, y de hecho no es totalmente ilustrar lo que está pasando. Yo se precipitó cuando escribí este ejemplo; como he explicado anteriormente, yo necesitaba para ir a trabajar y yo quería salir de todos los puntos esenciales de la cuestión, al menos abordado, incluso si no en la mayoría de manera elegante. Una mejor manera y, de hecho, mucho más general de la forma de ver la existencia de tales sistemas no lineales $\dot x = f_i(x)$ es elegir dos no lineal $C^1$ campos vectoriales $\phi_1(x)$ $\phi_2(x)$ sobre el dominio $U$ tal forma que:

$i.) \; \; \phi_1(0) = \phi_2(0) = 0 \tag{15}$

y

$ii.) \;\; \nabla \phi_1(0) = \nabla \phi_2(0) = 0, \tag{16}$

donde $\nabla \phi_i(x)$ denota el Jacobino de la matriz de $\phi_i(x)$$x$, y, a continuación, tomar

$f_1(x) = A_1(x) + \phi_1(x), \;\; f_2(x) = A_2(x) + \phi_2(x) \tag{17}$

en $U$. Si se sigue de (15)-(17) que

$f_1(0) = f_2(0) = f_1(0) + f_2(0) = 0 \tag{18}$

y que

$\nabla f_1(0) = A_1; \;\; \nabla f_2(0) = A_2; \;\; \nabla(f_1 + f_2)(0) = A_1 + A_2. \tag{19}$

Si sigue ese $0$ es un hiperbólico de equilibrio de cada uno de los sistemas de

$(a.)\;\dot x = f_1(x); \;\; (b.) \; \dot x = f_2(x); \;\; (c.) \; \dot x = f_1(x) + f_2(x), \tag{20}$

dado que los valores propios de los jacobinos de cada uno son reales y nonvanishing allí, como hemos visto. Así, podemos invocar el estable colector teorema a la conclusión de que la $0$ es asintóticamente estable de punto fijo de (a) y (b), pero es una silla de (c); esta construcción proporciona así una mucho más grande de la familia de los contraejemplos de los que se indican arriba.

Por último, hay ciertas condiciones en las que $\dot x = f_1(x) + f_2(x)$ le en el hecho de ser asintóticamente estable, entre ellos están

(A.) al $A_1 = \nabla f_1(0)$ $A_2 = \nabla f_2(0)$ son negativos definitite, que es, al $\mathbf r^T(\nabla f_i(0)) \mathbf r < 0$ todos los $\mathbf r$ (y aquí podemos permitir $\mathbf r \in \Bbb R^n$), $i = 1, 2$, a continuación, $\nabla(f_1 + f_2)(0)$ es negativa definida, ya que los $\mathbf r^T (\nabla f_1(0) + \nabla f_2(0)) \mathbf r = \mathbf r^T \nabla f_1(0) \mathbf r + \mathbf r^T \nabla f_2(0) \mathbf r < 0$ todos los $\mathbf r$; pero la negativa de la certeza de $(\nabla f_1 + \nabla f_2)(0)$ implica que todos sus valores propios son negativos, por lo que el sistema de $\dot x = f_1(x) + f_2(x)$ es asintóticamente estable en este caso. Cabe señalar a este respecto que las matrices $A_1, A_2 = A_1^T$ es sólo negativa definitiva al $\vert \nu \vert$ es lo suficientemente pequeño, ya que $\mathbf r^T A_1 \mathbf r = \mu_1 y_1^2 + \mu_2 y_2^2 + \nu y_1 y_2$ y así sucesivamente; el recuerdo de lo que antecede, $A_1 + A_2$ es no negativa definida si $\nu$ es lo suficientemente grande.

(B.) Supongamos $\theta_1, \theta_2: U \to \Bbb R$ son funciones tales que $0$ es no degenerada mínimo local para cada uno. Entonces el gradiente de sistemas $\dot x = \nabla \theta_i(x)$, $i = 1, 2$, satisfacer el criterio requerido en (A.); el sistema de $\dot x = \nabla \theta_1(x) + \nabla \theta_2(x)$ es asintóticamente estable en $0$. Final de los Anexos.

Espero que esto ayude. Saludos,

y como siempre,

Fiat Lux!!!