Probar$f'(c_1)+f'(c_2)=2$ para$f$ tal que$f(a) = a$ y$f(b) = b$

Question

Deje $f$ ser continua en $[a,b]$ y diferenciable en a $(a,b)$. Si $f(a) = a$$f(b) = b$, demuestran que existen distintas $c_1$, $c_2$ $\in$ $(a,b)$ tal que $f'(c_1)+f'(c_2)=2.$

Yo:

Aplicando el Valor medio Teorema en el intervalo de $(a,b)$ se puede ver que para algunos $c_1\in(a,b), \,f'(c_1)=1$ pero, ¿cómo puedo demostrar que otro punto de $c_2$ se encuentra en el intervalo dado, para que $f'(c_2)=1$

PS: Una posible manera en que yo consideraba era demostrar que para algunos $x\in(a,b),f(x)=x$, pero yo no podía hacerlo (es falso que la mayoría, probablemente, de todos modos)

Answer 1

Dejar $d=\frac{a+b}{2}$. Por el teorema del valor medio, d, b [$.], [$$f'(c_1)=\frac{f(d)-f(a)}{d-a}=\frac{2\big(f(d)-f(a)\big)}{b-a}$ C_2 \ in] A continuación,$ and $ $

Answer 2

Considere la función $g(x)=f(x)-x$. A continuación,$g(a)=g(b)=0$, y tenemos que mostrar que $g'(c_1)+g'(c_2)=0$ diferentes $c_1,c_2$. Si $g=0$, hemos terminado, así que supongo que este no es el caso. Desde $g$ tiene la propiedad deseada si y sólo si $-g$ tiene la misma propiedad, no podemos, sin pérdida de generalidad supongamos que hay un $x_0\in(a,b)$ tal que $g(x_0)>0$. De ello se desprende que $g$ tiene un máximo global de $m\in (a,b)$ e lo $g'(m)=0$. Observar ahora por el valor medio teorema que hay un punto de $x_1\in(a,m)$ tal que $g'(x_1)>0$ y un punto de $x_2\in(m,b)$ tal que $g'(x_2)<0$. Si $|g'(x_1)|= |g'(x_2)|$, hemos terminado. Suponer sin pérdida de generalidad que $|g'(x_1)|< |g'(x_2)|$. Por el Teorema de Darboux, llegamos a la conclusión de que hay un $x_3\in(m,x_2)$ tal que $g'(x_1)+g'(x_3)=0$. Ahora tome $c_1=x_1, c_2=x_3$ al finalizar el argumento, en este último caso.