A mí me parece que no es posible, pero no veo ningún argumento. He intentado algo con los grupos de Sylow (considerarlos todos como grupos de Sylow 11 e intentar usar los teoremas de Sylow para encontrar una contradicción), pero desgraciadamente no ha aportado mucho.
Gracias de antemano.
No soy ningún tipo de teórico del grupo, así que espero que no se me caigan los huevos a la cara. Mira esos $12$ grupos de orden $11$ . Dos de ellos cualesquiera sólo pueden intersecarse en la identidad (de lo contrario serían iguales), por lo que se tiene $12\times10$ elementos de orden $11$ en su grupo. Esto deja sólo $12$ más: la identidad y algunos elementos de orden $3$ , $2$ y posiblemente $4$ . Tome cualquier elemento $g$ de orden $11$ y utilizarlo para conjugar y elementar $h$ de orden $3$ . Si $ghg^{-1}$ no es $h$ , entonces los elementos $g^nhg^{-n}$ son once, once elementos diferentes de orden $3$ , sin dejar lugar a elementos de orden $2\,$ ¡! Así que $g$ y $h$ debe desplazarse. El mismo argumento para los elementos de orden $2$ o $4$ por lo que cualquier elemento de orden $11$ conmuta con un elemento de orden primo a $11$ . Esto significa que el grupo es conmutativo después de todo, y entonces sólo hay un subgrupo de orden $11$ .
(Me remito a cualquiera que ofrezca un argumento menos complicado).
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