Tengo problemas para entender una demostración del siguiente teorema (Algebraic Geometry and Arithmetic Curves, Qing Liu, Theo 3.3.25, página 107).
Teorema: deje $\mathcal{O}_K$ sea un anillo de valoración sobre $K$ , $X$ una adecuada $\mathcal{O}_K$ -esquema. Entonces el mapa canónico $X(\mathcal{O}_K)\to X_K(K)$ es biyectiva.
Si he entendido bien el mapa canónico asociado a $\varphi:\mathrm{Spec}\mathcal({O}_K)\to K$ el mapa $\varphi_K:\mathrm{Spec}(K)\to X_K$ cambio de base de $\varphi$ en $\mathrm{Spec}(K)\to\mathrm{Spec}(\mathcal{O}_K)$ .
La prueba va así:
Prueba: inyectabilidad: ok
surjectivity: let $\pi:\mathrm{Spec}(K)\to X_K\in X_K(K)$ . Sea $x=\pi((0))\in X_K$ .
Sea $Z=\overline{\{x\}}\subseteq X$ : problema 1 ¿por qué suponer que $x\in X$ ? ¿Debemos razonar sobre $y$ imagen de $x$ por $X_K\to X$ ?
Hemos dotado $Z$ con estructura de subesquema cerrado reducido, por lo que $Z$ es integral: ok
En $\mathcal{O}_K$ -esquema $Z$ es correcto: ok
El punto $x$ está cerrado en $X_K$ : ok
El punto $x$ es denso en $Z_K$ : problema 2 ¿Por qué? No tengo una explicación.
Entonces $Z_K=\{x\}$ : ok
Imagen de $Z\to\mathrm{Spec}(\mathcal{O}_K)$ es $\mathrm{Spec}(\mathcal{O}_K)$ : ok
Sea $t\in Z_\mathfrak{m}$ ( $\mathfrak{m}\subseteq\mathcal{O}_K$ es el ideal máximo). $\mathcal{O}_{Z,t}$ está dominando $\mathcal{O}_K$ : ok
El campo de fracción de $\mathcal{O}_{Z,t}$ es $\mathcal{O}_{Z,x}$ y $\mathcal{O}_{Z,x}=K$ : problema 3 ¿Por qué? $\mathcal{O}_{Z,x}=K$ ? Debería vincularse con $\{x\}=Z_K$ ¿pero cómo?
Entonces $\mathcal{O}_{Z,t}=\mathcal{O}_K$ y así tenemos $\mathrm{Spec}(\mathcal{O}_K)\to X$ : ok
Gracias por su ayuda
