¿Por qué se considera que la función de potencia es una función algebraica, pero la función exponencial NO es algebraica?

Question

Me gustaría saber por qué si una expresión matemática contiene una función exponencial, esta expresión NO puede considerarse una expresión algebraica, pero si contiene una función potencial (si la variable es la base de una expresión potencial) entonces esa expresión en su totalidad puede considerarse una expresión algebraica.

Answer 1

Una expresión algebraica está compuesta de polinomios. En estas expresiones, no se utilizan operaciones distintas a las operaciones de anillo de multiplicación y adición. Por lo tanto, $x^6$ es simplemente $x\times x\times x\times x\times x\times x$. Por otro lado, para expresar $6^x$, para una variable real $x$, realmente necesitamos funciones trascendentales como $\exp$ y $\log.

Las raíces de polinomios son números algebraicos; las raíces de funciones trascendentales pueden, en general, ser números trascendentales. Tan pronto como utilizamos funciones trascendentales, realmente estamos jugando un juego diferente. Ya no estamos simplemente trabajando en un anillo, sino que estamos tratando con funciones que necesitamos de convergencia para describir. Por lo tanto, la topología está presente, y ya no es un sistema puramente algebraico.

Answer 2

Las expresiones algebraicas son aquellas que solo incluyen operaciones algebraicas, es decir, adición y multiplicación, y cuando tiene sentido, tomar inversos multiplicativos. Además, tomar raíces sigue siendo algebraico.

Por lo tanto, $x^n = x\cdot x\cdots x$ es una expresión algebraica.

Cualquier polinomio $p(x) = \sum_{k=0}^n a_kx^k$ es una expresión algebraica.

Sin embargo, $e^x$ para algún número real $x$ es un tipo diferente de bestia y hay muchas formas de definirlo, pero creo que la forma más ilustrativa en este caso sería definirla mediante series:

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}$$

que ya no es una expresión algebraica, sino un límite de expresiones algebraicas. Los límites ya no son construcciones algebraicas, sino que pertenecen a la topología y, por lo tanto, la función exponencial ya no es algebraica, sino analítica.

Answer 3

Además de las otras respuestas, $x^\sqrt{2}$ donde $x$ es un número real positivo normalmente no se considera algebraico porque no se puede obtener mediante la aritmética y tomando raíces de ecuaciones polinómicas. Ten en cuenta que $x^\sqrt{2} = \exp(\sqrt{2}\ln(x))$. Por lo tanto, normalmente no es cierto que "si la variable es la base de una expresión de potencia, entonces esa expresión se puede considerar algebraica".

Answer 4

No está claro lo que tenías en mente.

Pero si $K = \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ o $ \mathbb{C}$ entonces $K[x]$ es el anillo de funciones polinómicas $P(x) = \sum_{n=0}^N a_n x^n$ y $K(x)$ es el cuerpo de funciones racionales $\frac{P(x)}{Q(x)}, P,Q \in K[x]$.

Luego puedes agregar más elementos (como $\sqrt[l]{x}$) para obtener la clausura algebraica $\overline{K(x)}$, el cuerpo de funciones $f$ que satisfacen una ecuación polinómica $\forall x,\sum_{n=0}^d P_n(x) f(x)^n=0, P_n \in K(x)$.

También nota que $K(x)$ es cerrado bajo diferenciación, pero no contiene ninguna solución (no nula) para $f' = cf , c \in K^*$ y de manera más general $\sum_{k=0}^M a_k f^{(k)} = 0$. Agregar esas soluciones produce un nuevo conjunto de funciones, que contiene las funciones trigonométricas, siendo la exponencial una solución de $f' = f$.