Las expresiones algebraicas son aquellas que solo incluyen operaciones algebraicas, es decir, adición y multiplicación, y cuando tiene sentido, tomar inversos multiplicativos. Además, tomar raíces sigue siendo algebraico.
Por lo tanto, $x^n = x\cdot x\cdots x$ es una expresión algebraica.
Cualquier polinomio $p(x) = \sum_{k=0}^n a_kx^k$ es una expresión algebraica.
Sin embargo, $e^x$ para algún número real $x$ es un tipo diferente de bestia y hay muchas formas de definirlo, pero creo que la forma más ilustrativa en este caso sería definirla mediante series:
$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}$$
que ya no es una expresión algebraica, sino un límite de expresiones algebraicas. Los límites ya no son construcciones algebraicas, sino que pertenecen a la topología y, por lo tanto, la función exponencial ya no es algebraica, sino analítica.
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Respuesta breve, porque esa es la definición de una expresión algebraica. Podrías definirla como otra cosa, pero entonces los mismos resultados no se aplicarían a estas "nuevas expresiones algebraicas" sin modificaciones. Si tienes dudas al respecto, pregunta acerca de los resultados específicos, no de la definición.