Definiciones y supuestos (sin pérdida de generalidad)
Sin pérdida de generalidad, podemos considerar que el maestro está en la mitad inferior de la esquina (sabemos que el profesor está en una esquina y el problema es simétrico).
Permite llamar el interior de la plaza de la plaza de 1/6 de la unidad de lado, con centro en el origen.
Se necesitan al menos $6\times \frac{1}{12} = \frac{1}{2}$ unidad de tiempo para que el niño a alcanzar el lado del cuadrado interior.
En ese momento, el profesor va al centro de la parte inferior de la piscina, no importa donde el niño va.
Cuando el niño sale del interior de la plaza, profesor de ir siempre tan cerca como sea posible para el niño. Si el niño va hacia adentro del cuadrado interior, el maestro vuelve a su posición original.
La resolución del problema
Vamos a demostrar que en esta situación, el niño no puede escapar.
Caso 1 : El niño sale del cuadrado interior en su parte inferior, plaza de
Obviamente, el niño no puede escapar por la parte inferior de la piscina, ya que el maestro está aquí.
Si él intenta escapar por un lado, se necesitarán al menos $6\times 5/12 = 2.5$ unidades de tiempo. El maestro puede estar en cualquier lugar en el lado de 1.5 unidad de tiempo.
Si él trata de escapar por la parte superior, se necesitarán al menos $6\times 7/12 = 3.5$ unidades de tiempo. El maestro puede estar en cualquier lugar en la parte superior en 2,5 unidades de tiempo.
Caso 2 : El niño sale del interior de la plaza por uno de los lados (por ejemplo, el lado derecho).
De nuevo, el niño no puede escapar por la parte inferior, porque el maestro está aquí.
Si el niño intenta escapar en el lado derecho, se necesitarán al menos $6\times 5/12 = 2.5$ unidades de tiempo. El maestro puede estar en cualquier lugar en el lado de 1.5 unidad de tiempo.
Si el niño intenta escapar en el lado izquierdo, se necesitarán al menos $6\times 7/12 = 3.5$ unidades de tiempo. El maestro puede estar en cualquier lugar en el lado de 3.5 unidad de tiempo, incluso si él empieza por ir a través de la derecha.
Si el niño intenta escapar en la parte superior , se necesitarán al menos $6\times 5/12 = 2.5$ unidades de tiempo. El maestro puede estar en cualquier lugar en el lado de 2.5 unidad de tiempo.
Caso 3 : El niño sale en la parte superior
Si el niño sale del interior de la plaza en la mitad derecha de la parte superior, a continuación, el profesor va a la derecha. Si el niño se sale con la mitad izquierda, el maestro va a la izquierda.
Por el bien del argumento, digamos que el muchacho sale del interior de la plaza en el lado derecho (la situación es simétrica si que sale a la izquierda).
El niño no puede escapar por la parte inferior (obvio).
Si el niño intenta escapar en el lado derecho, se necesitarán al menos $6\times 5/12 = 2.5$ unidades de tiempo. El maestro puede estar en cualquier lugar en el lado de 1.5 unidad de tiempo.
Si el niño intenta escapar en la parte superior, se necesitarán al menos $6\times 5/12 = 2.5$ unidades de tiempo. El maestro puede estar en cualquier lugar en el lado de 2.5 unidad de tiempo.
Si el niño intenta escapar en la mitad superior de la izquierda, le tomará al menos $6\times 1/2 = 3$ unidades de tiempo. El maestro puede estar en la mitad superior de la izquierda en 3 unidades de tiempo, incluso si él comienza a ir a la derecha.
Si el niño intenta escapar en la mitad inferior de la izquierda lado de la piscina. (este es un poco más complicado)
Deje $x$ ser la distancia entre la fuga y el punto medio del lado izquierdo. El tiempo mínimo que el niño necesita para ir allí es :
$$T_{kid} = 6\times \sqrt{0.5^2 + (\frac{1}{12}+x)^2}$$
El momento en que el maestro necesita para llegar allí, si comienza por ir a la derecha es :
$$T_{teacher} = 3+x$$
Podemos mostrar que $T_{kid}\geq T_{teacher}$, o
$$f(x) = T_{kid}- T_{teacher} = 6\times \sqrt{0.5^2 + (\frac{1}{12}+x)^2} - 3- x \geq 0$$
Se puede hacer analíticamente, pero he usado wolfram alpha aquí para mostrar.
Conclusión
Desde dondequiera que el niño sale del interior de la plaza, él pierde, la prueba está completa.
