Me han pedido probar (o refutar) que existe un % de espacio topológico $X$con la siguiente propiedad:
Para cada espacio $T$ allí es un conjunto de $I$ y un Homeomorfismo $T\cong A$ $A$ Dónde está un cociente de un subespacio de $X^I = \prod_{i\in I} X$ (topología del producto)
Por supuesto, esto huele a una propiedad universal y una bastante fuerte, así que me inclino a que no hay ningún tal $X$. Pero, ¿cómo se puede probar que no existe tal espacio?
Usted puede hacer esto sin necesidad de cocientes. Deje $X=\{0,0',1\}$, con la topología $\{X,\emptyset,\{1\}\}$. Dado cualquier espacio de $T$, vamos a $I$ ser el conjunto de todas continua mapas de $T\to X$. Hay un canónica mapa continuo $F:T\to X^I$$F(t)(f)=f(t)$. Yo reclamo que $F$ es un homeomorphism en su imagen, por lo $T$ es homeomórficos para el subespacio $A=F(T)\subseteq X^I$.
En primer lugar, $F$ es inyectiva, ya que el subespacio $\{0,0'\}$ $X$ es indiscreta, por lo que cualquier mapa de $T\to \{0,0'\}$ es continua. En particular, dados cualesquiera dos puntos distintos de $T$, podemos encontrar un mapa continuo $T\to X$ que envía a uno de ellos a $0$ y el otro a $0'$.
Segundo, $F$ está abierto como un mapa en su imagen. De hecho, vamos a $U\subseteq T$ ser abierto. A continuación, la función de $f:T\to X$ envío de $U$ $1$ $T\setminus U$ % # % es continua. La imagen de $0$ es entonces exactamente el conjunto de elementos de $F(U)$ cuyas $F(T)$ coordinar es $f$. Este es un subconjunto abierto de $1$ desde $F(T)$ está abierto en $\{1\}$. Por lo tanto $X$ está abierto como un mapa a $F$.
Resumiendo las otras respuestas:
La incrustación teorema muestra que cualquier espacio topológico $S$ es homeomórficos a un subespacio de $X^I$ para un conjunto de índices $I$ donde $X = \{0,1,2\}$ con topología $\{\{0\}, \emptyset, X\}$ (una especie de "grasa Sierpinski espacio"). Ver Wofsey la respuesta de algunos detalles más. La esencia es que el $X$ nos permite separar los puntos y los puntos separados y conjuntos cerrados por funciones continuas en $X$.
Esto muestra que la variante en el "cocientes de subespacios" es contestada por sí, sin tomar cocientes en absoluto; no es muy interesante.
La variante "cocientes de $X^I$" es respondida por el usuario 87690 la respuesta:
Supongamos $X$ existía. Deje $S$ ser el espacio discreto en $|X|^+$ (sucesor del cardenal) puntos, y supongamos que tenemos un surjective cociente mapa de $q: X^I \to S$, para algunos el índice de establecer $I$.
De hecho, el estándar de teoremas muestran que si $\kappa$ es el más pequeño infinito cardinalidad de un subconjunto denso de $X$, lo $\kappa \le |X|$, $X^I$ no tiene pares distintos de la familia de abiertos no vacíos conjuntos de tamaño $>\kappa$. Pero esto es contradicho por $\{q^{-1}[\{s\}], s \in S\}$. Esta contradicción muestra que $X$ no existen para todos los espacios topológicos $S$.
En mi humilde opinión esta última respuesta es la más interesante ya que hace uso de cocientes, aunque en la apariencia de sólo una imagen continua.
Un verdadero doble de las competencias que el/subespacio variante sería:
¿Existe un espacio de $X$, tal que para cualquier espacio topológico $S$, hay un (surjective) cociente mapa de $q: \sum_{i \in I} X_i \to S$ donde todos los $X_i = X$, e $\sum$ denota discontinuo sumas de los espacios en su suma de topología.
(esta idea se produce en la teoría de la secuencial de los espacios, de donde tomamos los cocientes de copias de una secuencia convergente); yo creo que puede contener. [EDITAR] No hubo suerte, por el mismo argumento que secuencial espacios son countably apretado, tenemos que la opresión de los cocientes de las cantidades de copias de $X$ no excederá $t(X)$... Thx para el comentario.
Tenga en cuenta que no hay ningún espacio $X$ tal que cada espacio $T$ es homeomorfa a un cociente $A$ de una potencia entera $X^I$ (en lugar de algunos de sus subespacios).
Por lema de sistema de $Δ$, $c(∏_{i ∈ I} X_i) = \sup\{c(∏_{i ∈ F} X_i) : F ⊆ I \text{ finite}\}$. Por lo tanto, tenemos $c(A) ≤ c(X^I) ≤ \sup_{n ∈ ω} c(X^n) ≤ d(X)$. Por lo tanto un espacio $X$ $κ$ de la densidad puede generar sólo espacios $A$ $≤ κ$ de la celularidad.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
