¿Cuál es la diferencia entre "infinitamente numerosos $n$ " y "suficientemente grande $n$ "?

Question

Me encuentro con esta frase en la solución de un problema:

La negación de " $P(n)$ para infinitamente muchos $n$ " es " $\lnot p(n)$ para lo suficientemente grande $n$ ".

¿Cuál es la diferencia entre infinitamente muchos y lo suficientemente grande $n$ ?

Answer 1

Es cierto que infinitos enteros son pares.

Pero es no es cierto que todos los enteros suficientemente grandes son pares, porque no importa lo grande que sea un entero que elijas, siempre puedo encontrar un entero impar que sea mayor.

Answer 2

Tal vez estas definiciones aclaren la cuestión:

• Decimos que $P(n)$ es válida para un número infinito de $n$ si para cualquier $N$ hay $n>N$ para que $P(n)$ es cierto. 1
• Decimos que $P(n)$ se mantiene para un tamaño suficiente (o suficientemente grande) $n$ si hay $N$ para que $P(n)$ es cierto para todos los $n>N$ .

Con estas definiciones, ¿puede ver por qué " $P(n)$ para un número infinito de $n$ " y " $\lnot P(n)$ para que sea lo suficientemente grande $n$ "¿son negaciones de la otra?

Puede ser que la fuente que usted utiliza tenga definiciones diferentes. Si ese es el caso, lo mejor es incluir las definiciones en su pregunta para asegurarse de que todos hablan exactamente el mismo idioma. Las definiciones que he dado anteriormente no son la única forma posible de definir estos conceptos.

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1 Eso sí, esto es cierto si estamos trabajando sobre $\mathbb N$ pero no en general. Para algo menos dependiente del contexto, se podría decir que el conjunto $\{n\in\mathbb N;P(n)\}$ es infinito. La razón por la que he decidido no seguir este camino es para que la comparación sea más clara.

Answer 3

Cuando algo es cierto para infinitos $n$ no tiene por qué ser cierto siempre, incluso cuando $n$ se vuelve masiva. Por ejemplo, $P(n)$ podría ser " $n$ es un primo". Esta afirmación es cierta para infinitos $n$ pero no es el caso que tan pronto como $n>n_0$ para algún número $n_0$ Cada $n$ es un número primo.

Por otro lado, si algo es cierto cuando $n$ es lo suficientemente grande, entonces es cierto para infinitas $n$ . Esto se debe a que hay infinitos números.

Answer 4

Podemos convertir una declaración en la otra mediante simples manipulaciones:

Negación de la "Propiedad P(n) para infinitos n" ==
Negación de "Infinitos n tienen la propiedad P(n)" ==
"Sólo un número finito de n tiene la propiedad P(n)"

Sólo tenemos un conjunto finito de elementos donde la propiedad P(n) es verdadera.
Ahora bien, todo conjunto finito tiene un elemento máximo M; por tanto, la propiedad P(n) es falsa para todo n>M.
No queremos encontrar M, pero debe ser algún número finito "suficientemente grande".

Por lo tanto, "Sólo un número finito de n tiene la propiedad P(n)" ==
"Propiedad ¬P(n) para n>M" ==
"Propiedad ¬P(n) para un n suficientemente grande".

Answer 5

Formalmente, cuando hablamos de infinitos $n$ estamos diciendo esencialmente: $$\forall m\exists n(m<n\land\varphi(n)),$$ es decir, siempre hay una mayor $n$ que satisface alguna propiedad.

Cuando decimos "para todos los grandes $n$ ", queremos decir que a partir de algún momento, algo sucede, por lo que $$\exists m\forall n(m<n\rightarrow\varphi(n)),$$ es decir, hay algo de $m$ de tal manera que cualquier $n$ satisfará la propiedad.

Claramente, "para todo lo suficientemente grande $n$ " implica que "hay infinitas $n$ ", pero no a la inversa. Algunos ejemplos son fáciles de dar como "Hay infinitos números primos", pero no es el caso de que "Todo número suficientemente grande $n$ es un número primo".