Los isomorfismos

Question

Definición: Dejar $G,H$ grupos y $f: G \to H$ una función tal que $f(gh) =f(h)f(g)$ cualquier $g,h \in G$. Entonces llamamos a $f$ un antihomomorphism. (Nota de la intercambiado el orden de $f(h)$$f(g)$.)

Yo estaba derivados de algunas de las propiedades de antihomomorphisms y me encontré con que había un montón de similitudes con el habitual homomorphisms:

Por ejemplo, para cualquier antihomomorphism $f: G \to H$, tenemos:

1. $f(e_G) = e_H$

2. $f(g^{-1}) = f(g)^{-1}$

Si definimos $ker f$ en la forma habitual (es decir,$ker f = \{g \in G|f(g) = e_H\}$), tenemos:

3. $f$ inyectiva $\iff ker f = \{e_G\}$

4. $ker f \unlhd G$

Si se denota la existencia de un bijective antihomomorphism entre el $2$ grupos $\asymp$, tenemos:

5. $G/ker f \asymp Im(f)$

También muy interesante:

6. $G \asymp H$ $H \asymp F \Rightarrow G \cong F$

Sé que la existencia de un isomorfismo entre el $2$ grupos significa que ambos grupos tienen exactamente la misma estructura.

Así que mi pregunta es:

A partir de un grupo de teóricos punto de vista, ¿cuál es el uso de bijective antihomomorphisms (= anti-isomorphisms) entre los 2 grupos. Podemos dar es una interpretación como la que tenemos para regular isomorphisms?

Answer 1

Estas preguntas se refieren a la siguiente construcción:

Deje $(G,\cdot)$ ser un grupo. Definir su opuesto $G^{op}$ a ser el grupo $(G,*)$ donde definimos $$x*y=y\cdot x.$$

Uno puede comprobar que este hecho forma un grupo. A continuación, una antihomomorphism $f:G\rightarrow H$ es exactamente un homomorphisms $G\rightarrow H^{op}$ o, de manera equivalente, un homomorphism $G^{op}\rightarrow H$.$^1$ Prácticamente la totalidad de sus resultados se derivan del hecho de que antihomomorphisms son homomorphisms - su dominio es justo lo contrario de lo que su marcado como.

En cierto sentido, un anti-isomorfismo es el mismo que una normal de isomorfismo. Esto es debido a que $G$ $G^{op}$ siempre son isomorfos - el mapa de $f:G\rightarrow G^{op}$ definido por $f(g)=g^{-1}$ es un isomorfismo.$^2$ Por lo tanto, si $G$ $H$ son anti-isomorfos, en realidad son isomorfos (y viceversa).

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$^1$ Uno podría observar que un homomorphism $G^{op}\rightarrow H^{op}$ es también un homomorphism $G\rightarrow H$ y viceversa.

$^2$ Esto se deduce fácilmente desde $f(g\cdot h)=(g\cdot h)^{-1}=h^{-1}\cdot g^{-1}=f(h)\cdot f(g)=f(g)*f(h)$. Obviamente, esto es bijective ya que la inversión es una involución.

Answer 2

Un antihomomorphism puede utilizarse, por ejemplo, para activar una acción de grupo izquierdo en una acción de grupo correcto.

Es dual a la noción de homomorfismo: si vemos grupos como categorías con un objeto, entonces homomorphisms son covariantes functors, antihomomorphisms son Funtor contravariante. Por lo tanto, es muy natural que las dos nociones son muy similares.

Answer 3

A veces anti-isomorphisms surgir de forma natural: el mapa de $g\to g^t$ $GL_n(\mathbb{R})$ o $g\to g^\dagger$$GL_n(\mathbb{C})$, por ejemplo. Se puede interpretar un anti-homomorphism $G \to H$ como un homomorphism $G \to H^{\text{op}}$ donde $H^{\text{op}}$ es el grupo con el mismo conjunto subyacente como $H$ y el grupo de operación $x.y = yx$. El tema es que no es particularmente interesante, ya que el mapa de $H \to H^{\text{op}}$ $x \to x^{-1}$ es un isomorfismo. Para (no conmutativa) anillos, sin embargo, la situación es más interesante: la de los anillos $A$ $A^{\text{op}}$ no necesariamente son isomorfos.

Answer 4

Como Daniel menciona en su respuesta, en virtud de la identificación de un grupo con un groupoid con un objeto, grupo homomorphisms son functors, y antihomomorphisms son contravariante functors.

En virtud de esta identificación, grupo determinado $G$ (un groupoid con un objeto), a la izquierda de la acción de $G$ sobre un objeto $X$ en categoría $\mathsf{C}$ es un functor $\lambda: G \to \mathsf{C}$$\lambda(1_G)=1_X$. Doblemente, un derecho de acción de $G$ $X$ es un functor contravariante $\rho: G^{\mathrm{op}} \to \mathsf{C}$$\rho(1_G)=1_X$.

Por lo tanto, el grupo de homomorphisms aparecer cuando usted desee considerar la izquierda acciones, y antihomomorphisms aparecen cada vez que desee considerar la posibilidad de acciones correctas. Así que si quieres ver el lugar donde antihomomorphisms que a su vez, sólo pensar en donde las acciones correctas. En Klein geometría, por ejemplo, la Cartan principal paquete de $G \to G/H$ tiene un derecho canónico de acción por $H$.

Afortunadamente, el grupo inversa le da un anti-isomorfismo $G^{\mathrm{op}} \xrightarrow{\cong} G$ de un grupo con su opuesto, el grupo, así que siempre se puede convertir acciones correctas en la izquierda acciones y viceversa por la precomposición con el grupo inverso.

Para obtener más detalles, consulte Aluffi del Álgebra: Capítulo 0.

Answer 5

Lo siento si esto ya se ha escrito en alguna respuesta, pero vale la pena señalar que usted realmente no necesita anti-homomorphisms entre los grupos. Dado un anti-homomorphism $f : G \rightarrow H$, la función de $g \mapsto (f(g))^{-1} = f(g^{-1})$ es automáticamente una ordinaria homomorphism $G \rightarrow H$, y este proceso es bijective, y establece un bijection entre anti-isomorphisms y ordinario isomorphisms. Así que, básicamente, siempre y cuando tomamos el "fundamentales" anti-isomorfismo $$G \rightarrow G$$ $$g \mapsto g^{-1}$$ en serio, no necesitamos que preocuparse acerca de cualquier de los otros (en algún sentido).

La situación cambia si estamos tratando con monoids, en cuyo caso anti-homomorphisms ser un poco más útil. En este contexto, que también puede ser referido como "contravariante functors", en el sentido de la categoría de la teoría, desde un monoid es sólo una categoría con un objeto. Y, justo como en la categoría de teoría, que se puede reemplazar cada functor contravariante $\mathbf{C} \rightarrow \mathbf{D}$ con un functor covariante $\mathbf{C}^{op} \rightarrow \mathbf{D}$ y viceversa, por lo que también podemos hacer esto en el mundo de monoids. Sin embargo, yo personalmente creo que el anti-homomorphisms de categorías/monoids son bastante útil; es más fácil pensar con claridad cuando no estás introducción de la ops en todas partes en orden a aumentar artificialmente coaccionar todo a la vista para ser covariante.

Que mis dos centavos.