¿La aritmética cardinal se equivoca?

Question

Estoy tratando de calcular $\kappa^\lambda = \aleph_{\omega_1}^{\aleph_0}$ .

Sé que si $\kappa$ es un cardinal límite y $0 < \lambda < \mathrm{cf}(\kappa)$ entonces $\kappa^{\lambda} = \displaystyle \sum_{\alpha < \kappa} |\alpha|^{\lambda}$ .

Por lo tanto, $ \aleph_{\omega_1}^{\aleph_0} = \displaystyle \sum_{\alpha < \aleph_{\omega_1}} |\alpha|^{\aleph_0}$ .

También sé que si $\kappa, \lambda$ son infinitos cardenales entonces $(\kappa^+)^\lambda = \kappa^\lambda \cdot \kappa^+$ para que $\aleph_\alpha^{\aleph_0} = \aleph_\alpha \cdot \aleph_{\alpha-1}^{\aleph_0} = \aleph_\alpha \cdot \aleph_{\alpha-1} \cdot \aleph_{\alpha-2}^{\aleph_0} = \dots = \aleph_\alpha \cdot \aleph_{\alpha-1} \cdot \dots \cdot \aleph_{0}^{\aleph_0} = \aleph_\alpha$ .

Por lo tanto, $ \aleph_{\omega_1}^{\aleph_0} = \displaystyle \sum_{\alpha < \aleph_{\omega_1}} |\alpha|^{\aleph_0} = \sum_{\alpha < \aleph_{\omega_1}} |\alpha| = \sum_{\alpha < \omega_1} \aleph_{\alpha}$ .

Ya que para infinitos cardenales $\lambda \le \kappa$ tenemos que $\lambda + \kappa = \kappa$ , $\displaystyle \sum_{\alpha < \omega_1} \aleph_{\alpha} = \sup_{\alpha < \omega_1} \aleph_{\alpha} = \aleph_{\omega_1}$ .

Por lo tanto, $\aleph_{\omega_1}^{\aleph_0} = \aleph_{\omega_1}$ . ¿Es esto correcto? Este es un ejercicio de Just/Weese y la pista es "Asumir GCH". Creo que no he utilizado GCH, así que sospecho que me falta algo. Gracias por su ayuda.

---

Editar

He utilizado un método diferente para calcularlo y he llegado al mismo resultado (aunque todavía no sé si es correcto):

Por el teorema de Tarski, $\aleph_{\omega_1}^{\aleph_0} = \displaystyle \sum_{\alpha < \aleph_{\omega_1}} |\alpha|^{\aleph_0}$ .

Desde $|\alpha|^{\aleph_0} \le \aleph_{\omega_1}$ para todos $\alpha < \aleph_{\omega_1}$ obtenemos $\displaystyle \sum_{\alpha < \aleph_{\omega_1}} |\alpha|^{\aleph_0} \leq \aleph_{\omega_1}$ . Por supuesto, $\aleph_{\omega_1} \leq \aleph_{\omega_1}^{\aleph_0}$ .

Por lo tanto, $\aleph_{\omega_1} = \aleph_{\omega_1}^{\aleph_0}$ .

Answer 1

La razón por la que hay que usar GCH es que es consistente que $2^{\aleph_0}=\aleph_{\omega_2}$ . En este caso la prueba falla, simplemente porque $\aleph_0^{\aleph_0}$ es muy grande en comparación con $\aleph_{\omega_1}$ .

Supongo que los autores han optado por utilizar GCH para asegurarse de que ningún cardenal se comporta mal en este aspecto. Después de todo, podría darse el caso de que $\aleph_\omega^{\aleph_0}$ es muy grande (si las cosas van lo suficientemente mal).

Además lo que has escrito sobre la exponenciación es cierto en el caso de que $\kappa$ es un límite fuerte. Puede que no sea el caso de $\aleph_{\omega_1}$ pero siempre es el caso bajo GCH.

---

Bien, así que asumimos GCH, ahora tenemos que $\kappa^{\aleph_0}\leq\kappa^+$ y la igualdad se mantiene si y sólo si $\operatorname{cf}(\kappa)=\aleph_0$ .

Dado $\aleph_{\alpha}^{\aleph_0}$ si $\alpha$ es un límite entonces este simplemente igual a $\aleph_{\alpha+1}$ pero si no es así, hay algo de $\delta$ que es un límite y $n\in\omega$ tal que $\alpha=\delta+n$ . Ahora demuestre por inducción, como ha hecho en su post (la parte en la que resta del índice) que $\aleph_\alpha^{\aleph_0}=\aleph_\alpha\cdot\ldots\cdot\aleph_\delta^{\aleph_0}=\aleph_\alpha$ .

Answer 2

Usted quiere $(\omega_{\omega_1})^\omega$ y has establecido que $$(\omega_{\omega_1})^\omega=\sum_{\alpha<\omega_{\omega_1}}|\alpha|^\omega\;.\tag{1}$$ ¿Y si $2^\omega=\omega_{\omega_1+1}$ ? Esto es consistente con ZFC, y si se mantiene, entonces claramente el lado derecho de $(1)$ es al menos $\omega_{\omega_1+1}>\omega_{\omega_1}$ .

Añadido: Puede ampliar $(1)$ :

$$(\omega_{\omega_1})^\omega=\sum_{\alpha<\omega_{\omega_1}}|\alpha|^\omega\le\sum_{\xi<\omega_1}\omega_\xi^+\cdot(\omega_\xi)^\omega\le\omega_{\omega_1}\cdot\sum_{\xi<\omega_1}(\omega_\xi)^\omega\le\omega_{\omega_1}\cdot\sup_{\xi<\omega_1}(\omega_\xi)^\omega\le(\omega_{\omega_1})^\omega\;,$$

así que $$(\omega_{\omega_1})^\omega=\omega_{\omega_1}\cdot\sup_{\xi<\omega_1}(\omega_\xi)^\omega\;.$$

En GCH tiene $(\omega_{\xi+1})^\omega=\omega_{\xi+1}$ y $(\omega_\xi)^\omega=\omega_\xi^+=\omega_{\xi+1}$ cuando $\xi<\omega_1$ es un ordinal límite, por lo que

$$(\omega_{\omega_1})^\omega=\omega_{\omega_1}\cdot\sup_{\xi<\omega_1}\omega_{\xi+1}=\omega_{\omega_1}\;.$$