¿de dónde viene el término "integral dominio"?

Question

Auto-explicativo título realmente! Estudiante de hoy me preguntó por qué se llama integral de dominios-y me di cuenta de que la palabra "integral", parece estar siendo utilizado de una manera totalmente diferente de cualquier otra manera, he oído que se utiliza en las matemáticas. El estudiante sugirió que la palabra "integral" fue utilizado debido a que los números enteros son un ejemplo -, pero no me compro este porque con esa lógica se podría haber llamado "racional dominios" o "los dominios reales".

Cualquier ideas a nadie?

Answer 1

Edit: solo puedo ver ahora que la mayoría, si no todos los puntos ya estaban hechas en los comentarios, pero ya que me proporcionan enlaces y fragmentos dejo la respuesta aquí. Lo que yo creo que es la respuesta que viene a la derecha al final de este largo post.

Edit 2: Añadido algún formato, correcciones menores.

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Descargo de responsabilidad: Esto no es una respuesta definitiva, pero he seguido la palabra alemana Integritätsbereich a través de algunos famosos antiguos textos en alemán y puedo reproducir aquí lo que he encontrado. Se confirma esencialmente lo que Bill Dubuque dicho en varios comentarios. Permítanme recalcar que sólo se veía en la mayoría de los lugares obvios, por lo que no puede ser anterior a usos o mejor las referencias de las que me dan aquí:

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1. El uso temprano en el sentido de enteros algebraicos

En Hilbert Zahlbericht (1897) encontramos el siguiente pasaje (lamentablemente yo no puedo acceder a la traducción al inglés, así que espero que el alemán va a hacer), que estoy reproduciendo desde la página 121 del tomo 1 de sus obras completas (Göttinger Digitalisierungszentrum GDZ):

La nota a pie de página Integritätsbereich lee: Nach Dedekind "eine Ordnung".

Como Bill Dubuque, señaló en un comentario, el término Rationalitäts-Bereich aparece en Kronecker del Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grössen (1882) y es el siguiente paso mencionar Integritäts-Bereich (reproducido de archive.org) en las páginas 14 y 15:

Como lo que yo puedo decir, Kronecker se mantuvo firme en su intención de no utilizar la "Integritäts-Bereich" y me encontré con que sólo se menciona una vez más al principio del artículo 22 en la página 84.

En aras de la exhaustividad: Hilbert también menciona Rationalitätsbereich y se refiere a Kroneckers trabajo anterior, así como a Dedekind del Suplemento XI de Dirichlet del Vorlesungen über Zahlentheorie, titulado Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen, disponible en el volumen 3 de Dedekind obras completas (GDZ) tanto en alemán y en francés. Como lo que yo puedo decir la palabra Integritätsbereich es que no se menciona allí (como Hilbert menciona la palabra Ordnung se utiliza en su lugar), pero, de paso, nos encontramos con Zahlkörper, justificación ganze Zahlen, y, por supuesto algebraische ganze Zahlen (y muchos más términos) que se utiliza en exactamente la misma manera como se utilizan hoy en día.

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2. El uso moderno

La moderna noción abstracta se puede encontrar en los premios Emmy Noether del trabajo (¿dónde más?), por ejemplo, en Idealtheorie en Ringbereichen, Matemáticas. Annalen 83 (1921), 24-66 (el texto subrayado aparece de esta forma en Springer de la edición en línea).

Por supuesto, esto no explica por qué exactamente esta propiedad algebraica de los números enteros deben ser aislados, no otra cosa, pero tal vez eso es algo que sólo Emmy Noether misma respuesta.

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Añadido: A. Fraenkel, Über die Teiler der Null und die Zerlegung von Ringen, Journal für die reine und angewandte Mathematik (el Diario de Crelle) 145 (1915), 139-176 contiene el siguiente pasaje:

El hecho de que un integrante de dominio incrusta en su campo de fracciones que se construye en analogía con la construcción de los números racionales de los números enteros es explícitamente mencionado aquí. Esto parece una explicación razonable para la elección de la terminología que nos permite pensar de los elementos de un integrante del dominio como números enteros en algún campo. Por supuesto, el término "ganze Zahl" (entero, literalmente: "número entero") debe entenderse como "no una fracción real", que es: una fracción representable como $r/1$ $r$ un elemento del dominio $R$.

De hecho [ligeramente paráfrasis], Fraenkel, incluso va tan lejos como para decir que el anillo de propiedades de la integral de dominio son sólo artificial ("nur künstlich") y que se heredan de un campo que lo rodea, frente a un anillo con divisores de cero que se considera que poseen una natural ("natürlich"), la estructura de un anillo. Esto también explica por qué "Integritätsbereich" sólo se menciona esto una sola vez en todo el documento.

También hay una discusión detallada de los axiomas de los anillos, muy cerca de lo que uno encuentra en cualquier álgebra básica de texto hoy en día.

Answer 2

Más antiguos que se Conocen los Usos de Algunas de las Palabras de las Matemáticas afirma que el primer uso de este término es en el 1911 texto Monografías sobre temas de la matemática moderna. Tiene un significado ligeramente diferente allí: si $r_1, ... r_n$ son números (no puedo obtener una idea clara de qué tipo de números se consideran aquí; tal vez algebraica de los números enteros), a continuación, $\mathbb{Z}[r_1, ... r_n]$ es llamado en ese texto el dominio de integridad de la $r_i$ $\mathbb{Q}(r_1, ... r_n)$ el dominio de la racionalidad de la $r_i$.

La terminología parece (basado en mi lectura rápida) haber sido motivada de la siguiente manera: el primer objeto es el cierre de las $r_i$ bajo "integral" operaciones (suma, resta, multiplicación, de manera más general la composición con un polinomio entero), mientras que el segundo es el cierre de las $r_i$ por debajo de lo "racional" operaciones (suma, resta, multiplicación, división, más generalmente, de la composición con una función racional). De curso $\mathbb{Z}[r_1, ... r_n]$ es siempre una parte integral de dominio en el sentido moderno; tal vez eso es cómo la terminología evolucionado.

van der Waerden del Álgebra Moderna (1930) contiene la definición moderna con ningún comentario, por lo que fue establecido por entonces (tal vez van der Waerden fue el encargado de establecer la pena!).

Answer 3

Siempre he oído decir que el término Integral Dominio proviene de "dominio de integridad", que significa "sin fisuras" en el ring, con la idea de que los divisores de cero son como los defectos en un diamante. Esta descripción viene de mi maestro, el último gran Prof. Gerhard Hochschild de la UC Berkeley. Así que hay.